a) Es sei \( A \subseteq \mathbb{R}^{n} \) folgenkompakt und \( B \subseteq \mathbb{R}^{n} \) abgeschlossen. Beweisen Sie per Widerspruchsbeweis, dass
\( A+B:=\{a+b \mid a \in A, b \in B\} \)
abgeschlossen ist. Nehmen Sie dazu an, dass der Grenzwert einer beliebigen Folge nicht in \( A+B \) liegt und dass die Norm des Grenzwertes kleiner (oder größer) als die Norm jedes Elements aus \( A+B \) ist.
b) Ist \( A+B \) auch abgeschlossen in \( \mathbb{R}^{2} \) für \( A=\left\{(x, 0)^{T} \mid x \in \mathbb{R}\right\} \) und \( B=\left\{\left(y, y^{-1}\right)^{T} \mid 0<y \in \mathrm{R}\right\} ? \)
