Folgenkompakt , Durchschnitt, Vereinigung

Question

1) Der Durchschnitt zweier folgenkompakter Teilmengen des ℝⁿ ist folgenkompakt.

a) mit der Definition beweisen

Definition Folgenkompakt: M ⊂ ℝⁿ heißt folgenkompakt, falls jede Folge in M eine Teilfolge besitzt, die gegen einen Punkt von M konvergiert.

b) mit Bolzano-Weierstraß : M ⊂ ℝⁿ heißt beschränkt, falls ein s ∈ ℝ⁺ existiert, so dass M ⊂ B_s(0)

2) Der Durchschnitt unendlich vieler folgenkompakter Mengen ist folgenkompakt.

3) Die Vereinigung zweier folgenkompakter Mengen ist folgenkompakt.

4) Ist die Vereinigung unendlich folgenkompakter Mengen stets folgenkompakt ?

Wo soll ich da anfangen ?

Habe mir eine beliebige Folge x_n ∈ M_j ⊂ ℝⁿ definiert, die konvergiert. Also konvergiert auch ihre Teilfolge, aber wie mache ich das mit dem Durchschnitt bzw. der Vereinigung ?

Comments

Hallo liebe MatheStudentin!

Deine Aufgaben ähneln doch sehr stark dem Übungsblatt von Herrn Geiges aus Köln, was ich auch gerade bearbeite. Ich bin mal so frei und zitiere Wikipedia:

"Daher sind Teilmengen des ℝ^n genau dann folgenkompakt (und kompakt), wenn sie abgeschlossen und beschränkt sind."

Das ist letztlich der Satz von Bolzano Weierstraß, den wir hier anwenden können (und das ist NICHT der, den Du zitiert hast, die Herren Bolzano und Weierstraß haben noch ein paar mehr Sätze gemacht ;) ). Siehe auch in unserem Script Kapitel 5.3, Satz 7: "McRn ist folgenkompakt genau dann, wenn M abgeschlossen und beschränkt ist." (Bolzano-Weierstraß)

Daraus lässt sich schließen, dass jedes Intervall MIT ECKIGEN KLAMMERN [a, b] folgenkompakt ist. Stell das mal in der Mengenschreibweise dar, vielleicht kommst du damit weiter ;)

Ich hoffe ich konnte Dir damit helfen. Wenn nicht, frag doch einfach nochmal!

Grüße von Thorsten

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Hallo Thorsten,

ja genau das Blatt ist es. Ich weiß nicht wie es dir mit den Blättern ergeht, aber ich finde seine Blätter leider wirklich schrecklich zum Bearbeiten (allgemein gesehen aber auch speziell im Vergleich mit Lineare Algebra).

Und du hast Recht, ich hab den falschen Satz zitiert, bin im Abschnitt verrutscht mein lesen !

Der Satz von Bolzano-Weierstraß macht in Bezug auf ein Intervall mit eckigen Klammern tatsächlich Sinn und ist nachvollziehbar !

Ich bin dir dankbar für deine Hilfe, aber kann gerade damit nicht wirklich weiterarbeiten. Wenn du mir ein Beispiel geben könntest, oder auch mehrere, wäre das super.

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Vom Duplikat:

Titel: Vereinigung und Durchschnitt Folgenkompakter Mengen

Stichworte: vereinigung,durchschnitt,mengen,beweis

ich bräuchte etwas hilfe bei der folgenden Aufgabe:

Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
(a) Der Durchschnitt zweier folgenkompakter Teilmengen den ℝⁿ ist folgenkompakt.
(b) Der Durchschnitt unendlich vieler folgenkompakter Mengen ist folgenkompakt.
(c) Die Vereinigung zweier folgenkompakter Mengen ist folgenkompakt.
(d) Ist die Vereinigung undendlich vieler folgenkompakter Mengen stets folgenkompakt?
(e) Geben Sie ein Beispiel von nicht-leeren abgeschlossenen Mengen A1⊃A2⊃A3⊃... in ℝ mit der Eigenschaft, dass ∩_i=1∞A_i=∅
(f) Für nicht leere folgenkompakte Mengen K1⊃K2⊃K3⊃... im ℝⁿ gilt stets ⋂_i=1∞K_i≠∅.

Mein Ansatz:

Aus unserer Vorlesung folgt, dass die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen auch wieder offen ist. Da die Komposition von offenen Mengen abgeschlossen ist sind auch die Vereinigung beliebig vieler abgeschlossener Mengen abgeschlossen. Ausserdem ist die Vereinigung beschränkter Folgen wieder beschränkt -> nach Bolzano-Weierstraß ist somit die Vereinigung von beliebig vielen folgenkompakten Mengen folgenkompakt.

Meine Frage:

Ist die Folgerung so korrekt? Gibt es einen ähnlichen Ansatz für den Durchschnitt?

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Liebes Unucorn,

Bist du mittlerweile selbst weitergekommen?

MfG

Lambda

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Nein bis jetzt noch nicht, hättest du denn einen Ansatz?

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Liebes Unucorn,

ich kann dir leider nicht weiter helfen, würde mich aber über eine Lösung von dir freuen :)

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Hat jemand von euch mittlerweile eine Idee?

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Anscheinend hat der feiges nach 4 Jahren immer noch die gleichen blätter;) hat denn jemand von euch eine Hilfe für mich?

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Was verstehst du denn an der Antwort von Thorsten und was nicht?

Ich habe seine Antwort nun mal in einen Kommentar umgewandelt und hoffe, dass jemand deinen blauen Ansatz kommentieren kann.