Ein Rechteck soll den Flächeninhalt 10 cm^2 erhalten.

Question

Frage: Wie lang sind die Rechtecksseiten zu wählen, damit das Rechteck minimalen Umfang hat?

Answer 1

es ist stark zu vermuten, dass die Rechtecksseiten alle gleich lang sein müssen, so dass wir ein Quadrat erhalten.

Berechnen wir es aber:

I. A = a * b = 10 | also a = 10/b

II. U = 2a + 2b | Dies ist zu minimieren

I. in II. eingesetzt ergibt

f(b) = 2 * 10/b + 2b = 20/b + 2b = 2b + 20 * b^-1

f'(b) = 2 - 20 * b^-2 = 0 (notwendige Bedingung)

2 = 20 * b^-2 | * b²

2b² = 20

b = √10

f''(b) = 40 * b^-3 

f''(√10) = 40 * 1/(√10)³ > 0, also liegt an der Stelle b = √10 ein Minimum vor (hinreichende Bedingung)

a = 10/b = 10/√10 = √10

Die Seiten haben also tatsächlich alle die gleiche Länge, nämlich √10 cm

Besten Gruß