Berechnung von Nullstellen und Symmetrie

Question

 
Wir schreiben demnächst einen wichtigen Test in Mathe und haben dazu einige (unverständliche) Aufgaben bekommen, die ich leider nicht verstanden habe.
1) Zeige, dass x1 eine Nullstelle der Funktion f ist. Bestimme anschließend alle weiteren Nullstellen von f.

a) f(x) = x^3 - x^2 - 3x -1; x1=-1      b) f(x) = x^4 - 6x^3 + 11x^2 - 6x; x1=3

  2) Berechne die Nullstellen der Funktion f. Verläuft der Graph symmetrisch zur y-Achse oder symmetrisch zum Ursprung? Begründe.

a) f(x) = -x^2 + 4x        b) f(x) = 1/27 x^4 - 2/3 x^2 + 3      c) f(x) = x^3 - 4x + 3
Vielen Dank schon mal :)

Answer 1

Hi,

1)

Ob es sich hier um Nullstellen handelt oder nicht, findest Du heraus, in dem Du x₁ einfach einsetzt ;).

Das ist jeweils der Fall.

a)

Dann Polynomdivision durchführen.

(x^3-x^2-3x-1)/(x+1) = x^2-2x-1

 

Nun die pq-Formel ansetzen und man kommt auf:

x₂ = 1-√2

x₃ = 1+√2

 

b)

Erstmal ausklammern von x. Dann Polynomdivision

x*(x^3-6x^2+11x-6) = 0

(x^3-6x^2+11x-6)/(x-3) = x^2-3x+2

 

Soweit also

x₁ = 0

x₂ = -3

 

Mit der pq-Formel beenden:

x₃ = 1

x₄ = 2

 

2)

a)

-x^2+4x = 0

-x(x-4) = 0

x₁ = 0

x₂ = 4

 

Ist weder symmetrisch zur y-Achse noch Punktsymmetrisch.

Ist eine Parabel und damit Achsensymmetrische zur Scheitelstelle.

 

b)

1/27x^4-2/3x^2+3 = 0

Biquadratische Gleichung.

Lösen über Substitution: x^2 = z

Dann pq-Formel ansetzen und resubstituieren:

x_1,2 = ±3

 

Ist Achsensymmetrisch -> nur gerade Exponenten

 

c)

Ist Punktsymmetrisch, aber nicht zum Ursprung, da bis auf Absolutglied nur ungerade Exponenten

 

x^3-4x+3 = 0

Polynomdivision nach Raten von x = 1

Dann pq-Formel

x₁ = 0

x₂ = -1/2-√13 /2

x₃ = -1/2+√13 /2

 

Alles klar? Teilweise nur Hinweise, da das so schon genug ist. Falls Probleme, einfach melden ;).

Grüße

Comments

Vielen vielen Dank. Ich war schon am verzweifeln...

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Eine Frage noch:

Wie hast du bei x^3 - 4x + 3 Polynomdivision gemacht?

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So:

(x^3         - 4x  + 3) : (x - 1)  =  x^2 + x - 3
-(x^3  - x^2)         
———————
        x^2  - 4x  + 3
      -(x^2  -  x)   
——————
             - 3x  + 3
           -(- 3x  + 3)
             ————
                     0

Ok? ;)

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Kein Ding ;).