Untersuchen der Funktion auf Symmetrie, Randverhalten und Nullstellen

Question

Aufgabe:

Untersuche die folgende Funktion auf Symmetrie, Randverhalten und Nullstellen.

f : ℝ → ℝ, f(x) = x · sin (\( \frac{1}{1+x^2} \))

Ich habe leider Schwierigkeiten bei der oben genannten Funktion, kann mir jemand weiterhelfen?

Answer 1

Symmetrie

    \(\begin{aligned} & f(-x)\\ =\, & -x\cdot\sin\left(\frac{1}{1+\left(-x\right)^{2}}\right)\\ =\, & -x\cdot\sin\left(\frac{1}{1+x^{2}}\right)\\ =\, & -f(x) \end{aligned}\)

Randverhalten

        \(\begin{aligned} & x\to\infty\\ \implies & x^{2}\to\infty\\ \implies & 1+x^{2}\to\infty\\ \implies & \frac{1}{1+x^{2}}\to0\\ \implies & \sin\left(\frac{1}{1+x^{2}}\right)\to0 \end{aligned}\)

Nullstellen

        \(\begin{aligned} &  & x\cdot\sin\left(\frac{1}{1+x^{2}}\right) & =0\\ & \iff & x & =0\vee\sin\left(\frac{1}{1+x^{2}}\right)=0\\ & \iff & x & =0 \end{aligned}\)

Answer 2

Vielleicht bekommst du eine Idee wenn du die Funktion siehst

~plot~ x*sin(1/(1+x^2));[[-20|20|-1|1]] ~plot~