Extremwerte, Analysis. Suche maximalen Flächeninhalt des Rechtecks oberhalb der x-Achse, bei f(x):=-x^2+4

Question

Bestimmen Sie den maximalen Flächeninhalt des Rechtecks oberhalb der x-Achse, welches von der Funktion
f:ℝ → ℝ, x↦-x^2+4 und der x-Achse begrenzt wird.
Hinweis: Überlegen Sie sich, welche Bedingungen für die Eckpunkte des Rechtecks gelten müssen.

Answer 1

Betrachten wir das Ganze nur im 1. Quadranten:

Zielfunktion z(x) = x*y (Flächeninhalt eines Rechteckes im 1. Quadranten)

mit y = -x²+ 4 folgt z(x) = x*(-x²+4) = -x³+ 4x

Da der Flächeninhalt des Rechteckes maximal werden soll, liegt eine Optimierungsaufgabe vor. Derartige Aufgaben löst man in der Regel mithilfe der Differentialrechnung.

1. Ableitung bilden: z'(x) = -3*x²+ 4

1. Ableitung Null setzen (notwendiges Kriterium für ein Extremum)): -3*x²+4 = 0 -> x_E1/2 = ±√/4/3) = ±2√/1/3)

2. Ableitung bilden (hinreichendes Kriterium für ein Extremum): z''(x) = -6*x

    -> z''(x_E1 = -2√/1/3) > 0 -> Minimum

    -> z''(x_E2 = 2√/1/3) < 0 -> Maximum, das war gesucht, somit kommt nur x_E = 2√/1/3) in Frage

x_E in y einsetzen: y = -[2√/1/3)]² + 4 = 8/3

-> z(x) = A= x*y = 2√/1/3)*8/3 = 3,08 FE (Flächeninhalt im 1. Quadranten)

Aus Symmetriegründen beträgt der gesamte Flächeninhalt für das gesuchte Rechteck 2*2,08 FE = 6,16 FE  

Plausibilitätsprüfung:

 - Die Parabel schneidet die y-Achse bei 4 und die x-Achse bei - 2 und 2 -> errechneten x und y plausibel, da kleiner

- Der Flächeninhalt, den die Parabel mit der x-Achse einschließt ist 16 FE -> berechneter Flächeninhalt des Rechteckes plausibel, da kleiner

Comments

Wieso betrachten wir das Ganze nur im 1.Quadranten? Und was meinst du mit der Plausibilitätsprüfung?
"Aus Symmetriegründen beträgt der gesamte Flächeninhalt für das gesuchte Rechteck 2*2,08 FE = 6,16 FE", muss ich hier nicht 2 mal 3,08 rechnen?
Danke.

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-3*x2+4 = 0 -> xE1/2 = ±√/4/3) = ±2√/1/3), wie kommst du auf diese Lösung, also auf x1 und x2?

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1. Quadrant deshalb, weil die Sache etwas übersichtlicher und eventuell leichter zu analysieren ist.

Sowohl die Parabel als auch das Rechteckt sind in Bezug auf die y-Achse symmetrisch,. d.h. das, was rechts von der y-Achse liegt (1. Quadrant), finde ich auf gleicher Höhe genau wieder auf der linken Seite der y-Achse (2. Quadrant), sozusagen Spiegelung an der y-Achse. Ich würde dir hier empfehlen, eine Skizze zu erstellen, wo du die Parabel und das Rechteck grob einzeichnest. Dann hat man auch eine Vorstellung von dem, was eigentlich los ist. Und deswegen, weil es zur y-Achse symmetrisch ist, kann ich den Flächeninhalt von der einen Seite verdoppelt und bekomme somit den gesamten Flächeninhalt heraus. Da fällt mir grad auf, dass mit ein Tippfehler unterlaufen ist: Aus Symmetriegründen beträgt der gesamte Flächeninhalt für das gesuchte Rechteck 2*2,08 FE = 6,16 FE ; nicht 2,08 sondern 3,08.

-3*x²+4 = 0 die Gleichung -4 nehmen > -3*x² = -4  die Gleichung durch -3 teilen > x² = (-4)/(-3) = 4/3 die Gleichung mit √ nehmen > x =  ±√/4/3), weil   [-√/4/3)] auch 4/3 ergibt