Extremalprobleme: Maximaler Flächeninhalt des zwischen Parabel und x-Achse liegenden Rechtecks.

Question

ich brauche kurz eure Hilfe...

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = - x² + 9

Die Punkte A (- u / 0), B (u / 0), C (u / f(u)) und D (-u / f(-u)) mit 0 ≤ u ≤ 3 bilden ein Rechteck.

a) Berechne, für welchen Wert von u der Flächeninhalt des Rechtecks maximal wird.

b) Berechne, für welchen Wert von u der Umfang des Rechtecks maximal wird.

Zu a) habe ich mir aufgeschrieben:

A = a · b

a = 2u

b = f(u)

A = 2u · f(u)

A(u) = 2u · (- u^2 + 9)

A(u) = - 2u^3 + 18u

Weiter komme ich leider nicht.

Comments

Habe noch eine Skizze für diese Aufgabe. Einfach melden wenn ihr sie braucht...

Answer 1

Bis hier hin sieht das gut aus. Nun nach u ableiten und die Ableitung 0 setzen.

A(u) = - 2u^3 + 18u

A ' (u) = -6u^2 + 18  = 0

18 = 6u^2

3 = u^2

√3 = u, da u nicht neg. sein soll.

Kommst du selbst weiter?

Macht das Resultat Sinn?

Comments

Wäre das die Lösung für a?

Wäre dann für b:

U = 2a + 2b

U(u) = 4u + (- u² + 9) · (- u^2 + 9)

U(u) = 4u + u^4 - 18u^2 + 81

Dann wieder nach u ableiten und die Ableitung gleich null setzen?

Also:

U '(u) = 4 + 4u^3 - 36u?

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Du hast hier eine zu hohe Dimension. Mein Vorschlag:

U(u) = 4u + (- u² + 9) + (- u² + 9)

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Warum +?

Heißt es nicht 2·a + 2·b = U?

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2*a + b + b = U und nicht 2*a + b*b = U.

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Oh man, danke! Aber was ist mit diesen Punkten?

A (- u / 0), B (u / 0), C (u / f(u)) und D (-u / f(-u))

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Wenn du willst, kannst du nun noch ihre Koordinaten ausrechnen und das mit deiner Skizze überprüfen.

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Bei b) habe ich für u = 1+√10 , da ein Umfang nicht negativ sein kann... Ist das richtig?

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Das kleine u sollte +1 sein bei b). Vorgegeben ist ja 0≤u≤3.

Hast du denn abgeleitet?

Vgl. https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28u%29+%3D+4u+%2B+%28-+u%5E2+%2B+9%29+%2B+%28-+u%5E2+%2B+9%29+

Der maximale Umfang ist dann gemäss WolframAlpha  U_max = 20.

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Ja hast Recht, ich habe vergessen abzuleiten...

Ich zeig dir mal meine Rechenschritte:

U(u) = 4u + (- u^2 + 9) + (- u^2 + 9)

U(u) = - 2u^2 + 4u + 18

U '(u) = - 4u + 4

- 4u + 4 = 0 /- 4

- 4u = - 4 /:(- 4)

u = 1

Ist das dann die Lösung?

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b) Berechne, für welchen Wert von u der Umfang des Rechtecks maximal wird.

Ja das ist der Wert von u, für den der Umfang U maximal wird.

Da U(u) = - 2u² + 4u + 18 eine nach unten geöffnete Parabel ist, ist für u=1 der Umfang U maximal.