Extremalprobleme und Rekonstruktionen

Question

Aus drei Blechplatten soll eine 2 m lange Regenrinne geformt werden. 

Die Rinne soll eine Querschnittsfläche von 250 cm² besitzen.

Wie müssen Höhe h und Breite b gewählt werden, wenn der Materialverbrauch möglichst niedrig sein soll?

Answer 1

Ich gehe davon aus, dass die Regenrinne einen rechteckigen Querschnitt haben soll.

Dann gilt für den Materialverbrauch (Oberflächeninhalt der Rinne):

O ( b , h ) = 200 * b + 2 * 200 * h -> minimal

wobei zusätzlich gelten soll (Nebenbedingung):

b * h = 250

<=> b = 250 / h 

so dass sich durch Einsetzen in O ( b , h ) ergibt:

O ( h ) = 200 * 250 / h + 400 h = 50000 / h + 400 h

Bestimmung der Extremstellenkandidaten durch Ableiten und Nullsetzen:

O ' ( h ) = - 50000 / h ² + 400 = 0 

<=> 400 h ² = 50000

<=> h ² = 125

<=> h = √ 125 ≈ 11,18 cm

Prüfung mit zweiter Ableitung, ob an der Stelle h = √ 125 tatsächlich ein Minimum von  O ( h ) vorliegt:

O ' ' ( h ) = 100000 / h ³ 

O ' ' ( √ 125 ) > 0 , also liegt an der Stelle h = √ 125 tatsächlich ein Minimum von  O ( h ) vor.

 

Durch Einsetzen in die oben violett gesetzte Gleichung ergibt sich für die Breite b:

b = 250 / √ 125 = 2 * √ 125 ≈ 22,36

 

Der minimale Materialverbrauch liegt also vor, wenn die Rinne √ 125 cm hoch und doppelt so breit ist.

Comments

Eine Frage, wie kommt man von der ersten Ableitung auf die zweite? Ich komme irgendwie nur auf O" = -100 000h^-3...