Wie berechnet man das Gegenereignis? Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat sie höchstens drei richtige Antworten?

Question

Wir haben im Moment Stochastik als Thema. Dazu haben wir die folgende Aufgabe bekommen:

Bei einem Test gibt es 8 Fragen mit jeweils 3 Antworten, davon ist jedoch nur eine Antwort richtig. Lia kreuzt bei allen Fragen eine zufällige ANtwort an. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat sie höchstens drei richtige Antworten?

Kann mir bitte einer erklären, wie ich diese Aufgabe mit dem Gegenereignis lösen kann?

 

Comments

Das Gegenereignis wäre: Mindestens 4, also 4,5,6,7 oder 8 richtige Antworten.

Der Ansatz ist:

(8 über 4)*(1/3)^4*(2/3)^4+(8 über 5)*(1/3)^5*(2/3)^3+....(8 über 8)*(1/3)^8*(2/3)^0

Answer 1

Das beschriebene Ereignis: Höchstens 3, wäre 0,1,2 oder 3 richtige Antworten.

Das Gegenereignis wäre: Mindestens 4, also 4,5,6,7 oder 8 richtige Antworten.

Nun kannst du P(höchstens 3) = 1- P(mindestens 4) berechnen. Die Formel hat dir Gast eh68 schon hingeschrieben.
Da aber das Ereignis selbst einfacher ist (nur 4 statt 5 Summanden), ist es einfacher das Ereignis direkt zu berechnen.

P(höchstens 3) = (8 choose 0)*(1/3)^0 * (2/3)^8 + (8 choose 1)*(1/3)^1*(2/3)^{7} + (8 choose 2)*(1/3)^2*(2/3)^6 + (8 choose 3)*(1/3)^3*(2/3)^5 ≈ 0.741350 = 74,135%

Hier die Eingabe in den Taschenrechner von Wolframalpha:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%288+choose+0%29*%281%2F3%29%5E0+*+%282%2F3%29%5E8+%2B+%288+choose+1%29*%281%2F3%29%5E1*%282%2F3%29%5E%287%29+%2B+%288+choose+2%29*%281%2F3%29%5E2*%282%2F3%29%5E6+%2B+%288+choose+3%29*%281%2F3%29%5E3*%282%2F3%29%5E5

 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%288+choose+0%29*%281%2F3%29%5E0+*+%282%2F3%29%5E8+%2B+%288+choose+1%29*%281%2F3%29%5E1*%282%2F3%29%5E%287%29+%2B+%288+choose+2%29*%281%2F3%29%5E2*%282%2F3%29%5E6+%2B+%288+choose+3%29*%281%2F3%29%5E3*%282%2F3%29%5E5