Ein Gerät enthält 200 gleiche Bauteile. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 3 ausfallen.

Question

Kann mir jemand bei der folgenden Aufgabe helfen?

Ein Gerät enthält 200 gleiche Bauteile. Damit das Gerät funktioniert, sind aber nur 198 Bauelemente nötig, die übrigen zwei werden als "eiserne Reserve" mirbetrieben (Redundanz). Das Gerät fällt also erst aus, wenn mindestens 3 Bauelemente ausgefallen sind. Die Wahrscheinlichkeit für den Ausfall eines Bauelements ist 0,5%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Ausfall des Geräts?

'Mein Ansatz: das Gegenereignis zu mindestens 3 ist höchstens 2, oder? Dann nimmt man die Wahrscheinlichkeit 0,5^2 und erhält 0,25. Ist dann die Aufgabe gelöst, oder fehlt da noch etwas?

 

Answer 1

'Mein Ansatz: das Gegenereignis zu mindestens 3 ist höchstens 2, oder? Dann nimmt man die Wahrscheinlichkeit 0,005^2 und erhält weniger!. Ist dann die Aufgabe gelöst, oder fehlt da noch etwas?

"Höchstens 2 fallen aus" heisst

"genau 2 oder genau 1 oder genau 0" fallen aus.

Wahrscheinlichkeit P (höchstens 2 fallen aus)=

= (200 tief 2) * 0.005^2*0.995^198 + (200 tief 1)* 0.005 * 0.995^199 + (200 tief 0)* 0.995^200

= (200*199/2) * 0.005^2*0.995^198 + 200* 0.005 * 0.995^199 + 1* 0.995^200

 

Gegenwahrscheinlichkeit

P(Gerät fällt aus) =

1 - ( (200*199/2) * 0.005^2*0.995^198 + 200* 0.005 * 0.995^199 + 1* 0.995^200) = 0.07983 

Also 7,983%

Ich hoffe die Rechnung leuchtet dir ein. 

Answer 2

Ja Du bestimmst die Gegenwahrscheinlichkeit für höchstens 2. Also P(0) + P(1) + P(2):

Nach Binomialverteilung.

∑ k = 0 bis 2 über (n über k)·p^k·(1 - p)^{n - k}

∑ k = 0 bis 2 über (200 über k)·0.005^k·(1 - 0.005)^{200 - k} = 0.9202 = 92.02%

Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich jetzt aus

100% - 92.02% = 7.98%