Wäre froh wenn einer darüber sehen könnte:
Es sei im Folgenden
\( { s }_{ n }(p)=\sum \limits_{ k=1 }^{ n }{ { k }^{ p } } \\ \sum \limits _{ p=0 }^{ q }{ \begin{pmatrix} q + & 1 \\ p & \end{pmatrix} } { s }_{ n }(p) = { (n + 1) }^{ q+1 } -1.\)
Folgern Sie, dass \( { s }_{ n }(4) = \frac { 1 }{ 30 } n(n + 1)(2n + 1)({ 3n }^{ 2 } + 3n - 1). \)
Da haben wir als Lösung:
\( I.A.:\\ \sum \limits_{ p=0 }^{ q }{ \begin{pmatrix} q + & 1 \\ p & \end{pmatrix}\sum _{ k=1 }^{ 1 }{ { 1 }^{ p } } } = \sum \limits _{ p=0 }^{ q }{ \begin{pmatrix} q + & 1 \\ p & \end{pmatrix} } = { (1 + 1) }^{ q+1 } -1 = \text{(bin. Lehrsatz)} \sum \limits_{ p=0 }^{ q+1 }{ \begin{pmatrix} q + & 1 \\ p & \end{pmatrix} } -\begin{pmatrix} q + & 1 \\ p + & 1 \end{pmatrix} = \sum _{ p=0 }^{ q }{ \begin{pmatrix} q + & 1 \\ p & \end{pmatrix} } \)
I.V. A(n) ist wahr
I.S. \( n - 1 \Longrightarrow n\\ \\ \sum \limits _{ p=0 }^{ q }{ \begin{pmatrix} q + & 1 \\ p & \end{pmatrix} } { s }_{ n }(p) = \sum \limits_{ p=0 }^{ q }{ \begin{pmatrix} q + & 1 \\ p & \end{pmatrix} } { s }_{ n-1 }(p) + { n }^{ p } = \sum \limits_{ p=0 }^{ q }{ \begin{pmatrix} q + & 1 \\ p & \end{pmatrix} } { s }_{ n-1 }(p) + \sum \limits_{ p=0 }^{ q }{ \begin{pmatrix} q + & 1 \\ p & \end{pmatrix} } + { n }^{ p }\\ \\ = I.V.\qquad \\ \qquad { n }^{ q+1 } - 1 + \sum \limits_{ p=0 }^{ q }{ \begin{pmatrix} q + & 1 \\ p & \end{pmatrix} } { n }^{ p } = (\sum _{ p=0 }^{ q+1 }{ \begin{pmatrix} q + & 1 \\ p & \end{pmatrix} } { n }^{ p }) - 1 = \text{(bin. Lehrsatz)} { (n + 1) }^{ q+1 } - 1. \)
Ist das so richtig?
