Induktion über n,binomischen Hilfsatzes, Pascal`sche Identität

Question

Zeigen sie durch Induktion über n und mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes die Pascal`sche Identität

$$\sum _{ p=0 }^{ q }{ \left( \frac { q+1 }{ p }  \right)  } S_{ n }(p)=(n+1)^{ q+1 }$$

Folgern sie, dass $${ S }_{ n }\left( 4 \right) =\frac { 1 }{ 30 } n\left( n+1 \right) \left( 2n+1 \right) \left( { 3n }^{ 2 }+3n-1 \right) $$

Comments

Du hast es doch schon: https://www.mathelounge.de/116739/zeigen-induktion-binomischen-lehrsatzes-pascalsche-identitat

Oder?

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Das hab ich nicht reingestellt...

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IHab  die Aufgaben erst seid dieser Woche

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Hoffe, dass der Link beim Beweis weiterhilft.

Ist etwas ungeschickt, dass ihr beinahe gleich heisst.

Answer 1

Man sollte vielleicht noch erwähnen, das s_n(p) =_k=1∑ⁿ k^p vor der Aufgabe steht.

Comments

Den Induktionsanfang hab ich noch problemlos hinbekommen. Hast du einen Tipp wie man bei n+1 zur Lösung kommt?

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Darf man auch mit n-1 arbeiten?

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Ich bin mir unsicher, was mit der Pascal'sche Identitat gemeint ist.

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Wenn du magst kann ich meinen IA hochladen. Vielleicht kannst du mir dann ja mit n+1 helfen

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Ich habe auch n-1 verwendet. Ich denke schon, dass das möglich ist

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Normalerweise zeigt man halt das allgemein der Nachfolger (n+1) eines gültigen Ergenisses gibt. Und da ein Ergebnis (Induktions Anfang) berechnet wird, sind alle Werte bewiesen. Ich sehe kein Problem darin alle Vorgänger (n-1) zu beweisen. Hab aber sowas noch nie gesehen. Bin aber nur Ersti.

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Ich bin auch ein Ersti :)

Ich komm nicht wirklich weiter mit der Aufgabe, denn ersten Induktionsschritt n=1 hab ich gemacht und du hast recht darauf folgt normalerweise auch n+1...,

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Ja ich bin auch ersti. Hab es mit n+1 versuch. Bin aber irgendwann zu einem Widerspruch gekommen und das kann ja nicht sein :/

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Aber die Frage was mit der Pascal'sche Identität gemeint ist steht immer noch im Raum. Der Nachweis per Induktion ist machbar. s_n(p) einsetzen und aus n -> n+1 über dem Summenzeichen. Danach den hinzugewonene Summanten aus der Summe herausziehen. Und dann so umformen das man die Induktionsvoraussetzung anwenden kann.

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Ich glaube die Pascal'sche Identität beschreibt/definiert die Eigenschaften der Binomial Koeffizienten

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Genau da leigt mein Problem. "Die Eigenschaften" Plural! Welche Eigenschaft. (n über k) = (n über n-k) oder (n+1 über k+1)=(n über k)+(n über k+1) oder eine der Anderen. Es sieht zwar irgendwie nach (n+1 über k)=(n über k-1)+(n über k) aus, aber dann komm ich auf keine Lösung.

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Das kann gut möglich sein...ich finde aber nirgendwo eine Definition zur Identität. Meistens findet man wenn man nach Pascal sucht zum Größten Teil das Pascalsche Dreieck. Auch das beide also die Identität und das Dreieck mit dem Binomischen Lehrsatz zusammenhängen

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Ich glaub das sieht gut aus. Die letzten 3 Zeilen vor dem Inhaltsverzeichnis.

https://en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber%27s_formula

Wenn mein englisch noch nicht zu sehr eingerostet ist, dann ist diese Aufgabe die Pascalsche Identität.

Seht ihr das auch so?