Äquivalenzrelation in der Ebene: Punkte auf derselben Geraden durch (0,0) zeigen

Question

Sei M:=R2 \{ (0;0)} die Menge der Punkte der reellen Ebene ohne den 0-Punkt. Auf
M definiere (x;y)~ (x′; y′) genau dann, wenn es eine Gerade durch (0;0) ∈ R2 gibt, auf
der sowohl der Punkt (x;y) als auch der Punkt (x′; y′) liegen.
(a) Zeigen Sie, dass durch ~ eine Äquivalenzrelation gegeben ist.
(b) Finden Sie eine geometrische Darstellung der Menge der Äquivalenzklassen M "/" ~
indem Sie in jeder Äquivalenzklasse einen geeigneten Repräsentanten wählen.

Comments

Da (0,0) auf all diesen Geraden liegt, kann das nur eine Äquivalenzrelation ergeben, wenn man (0,0) ausschliesst, wie du am Anfang schreibst.

Fast immer gilt y / x = y' / x', wenn die Punkte äquivalent sind.

yx' = y'x wäre die Bedingung, die immer gilt, (x,y) und (x',y') äquivalent sind. (x,y)≠(0,0)

Bei b) könnte man den Einheitshalbkreis mit y≥ 0 nehmen ohne (-1,0).

Repräsentantenmenge A = {(x,y) | y =  √(1-x^2), x ∈ (-1,1]}

Die Äquivalenzeigenschaften in a) kannst du selbst nachprüfen(?)

Lies vielleicht mal das einführende Beispiel hier: http://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_für_Nicht-Freaks:_Relation:_Äquivalenzrelation

Du kannst dort auf die Fragen / Verständnisfragen klicken, da erscheinen Antworten. 

Lass dich nicht von Wurzeln und π abschrecken. Das sind dort nur Symbole für Definitionen und Sätze.

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Genügt es, um zu zeigen dass es um eine Äquivalenzrelation handelt?

Mein Problem ist, dass ich die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation nicht ganz verstehen (Raflexivität, Symmetrie und Transitivität).

Wie zeigt man die 3 Eigenschaften in diesem Fall?

und ehrlich gesagt, ... kein Plan... 

ich habe es nicht verstanden, warum (0,0) ausgeschlossen werden muss?

 

Sorry, habe das Thema leider überhaupt nicht verstanden.

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ersten Teil habe ich so gemacht :)

1. Reflexivität : für alle x,y aus M (x,y) ~(x,y), da sie auf der selben gerade liegen

2. Symmetrie: Spiegelung am Ursprung: -x = x', -y=y' ,also, (x,y)~(x',y') und (x',y')~(x,y)

3. Transitivität: Da (0;0) ausgeschlossen wurde, haben die geraden keinen möglichen schnittpunkt:

=> (x,y)~(x',y') und (x',y')~(x'',y'') => die geraden sind gleich => (x,y)~(x'',y'')


ist es soweit richtig?

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Ich glaube die Symmetrie ist bei mir falsch,,,,

Answer 1

Du schreibst:

1. Reflexivität : für alle x,y aus M (x,y) ~(x,y), da sie auf der selben gerade liegen

Diese Begründung ist etwas unsauber.

Benutze immer die Definition!

 

1. Reflexivität :

Zu zeigen:

Für alle ( x : y ) ∈ M gilt:

( x ; y ) ~ ( x ; y )

Beweis:

Für alle ( x : y ) ∈ M gilt:

Die Gerade, die durch ( 0 ; 0  ) und ( x ; y ) geht, geht auch durch ( x ; y ). Es gibt also eine Gerade durch (0;0) ∈ R2 auf der sowohl der Punkt ( x ; y ) als auch der Punkt ( x ; y ) liegen, also: ( x ; y ) ~ ( x ; y ).

2. Symmetrie:

Zu zeigen:

Für alle ( x ; y ) , ( a ; b ) ∈ M gilt:

( x ; y ) ~ ( a ; b ) => ( a ; b ) ~ ( x ; y )

Beweis:

( x ; y ) ~ ( a ; b )

=>  Es gibt eine Gerade durch (0;0) ∈ R2, auf der sowohl der Punkt ( x ; y ) als auch der Punkt ( a ; b ) liegen.

=>  Es gibt eine Gerade durch (0;0) ∈ R2, auf der sowohl der Punkt ( a ; b ) als auch der Punkt ( x ; y ) liegen.

=> ( a ; b ) ~ ( x ; y )

3. Transitivität:

Zu zeigen:

Für alle ( x ; y ) , ( a ; b ), ( c ; d ) ∈ M gilt:

( x ; y ) ~ ( a ; b ) und ( a ; b ) ~ ( c ; d ) => ( x ; y ) ~ ( c ; d )

Beweis:

( x ; y ) ~ ( a ; b ) und ( a ; b ) ~ ( c ; d )

per Definition:

=> Es gibt eine Gerade durch ( 0 ; 0 ) ∈ R2, auf der sowohl der Punkt ( x ; y ) als auch der Punkt ( a ; b ) liegen und es gibt eine Gerade durch ( 0 ; 0 ) ∈ R2, auf der sowohl der Punkt ( a ; b ) als auch der Punkt ( c ; d ) liegen

[ Da eine Gerade durch zwei Punkte eindeutig bestimmt ist, ist die Gerade durch ( 0 ; 0 ) und ( a ; b ) eindeutig bestimmt. Wegen ( x ; y ) ~ ( a ; b ) und ( a ; b ) ~ ( c ; d ) liegen also auch die Punkte ( x ; y ) und ( c ; d ) auf genau dieser Geraden. Es gibt also eine Gerade (nämlich eben diese Gerade durch ( 0 ; 0 ) und ( a ; b ) ) , auf der sowohl ( x ; y ) als auch ( c ; d ) liegen, also:]

=> ( x ; y ) ~ ( c ; d ) 

 

Die Äquivalenzrelation ~ teilt den R² \ { ( 0 ; 0 ) } in disjunkte Äquivalenzklassen K_i ( i ∈ R ) ein, für die gilt:

K_i = { ( x ; y ) | y = i * x }

Jede dieser Klassen besteht aus denjenigen Punkten ( x ; y ) ∈ R² \ { ( 0 ; 0 ) }, die auf einer Ursprungsgeraden mit der Steigung i liegen.

Ein Repräsentant einer jeden dieser Klassen ist das Element ( 1 , i ) , denn für jedes i ist ( 1 , i ) ein Element einer anderen Klasse K_i

Die Menge aller dieser Repräsentanten ist die Menge

REP = { ( 1 ; i ) | i ∈ R }

Jedes Element von REP repräsentiert genau eine der Äquivalenzklassen K_i

Geometrisch ist REP eine Parallele zur y-Achse durch den Punkt ( 1 ; 0 ), also die Gerade mit der Gleichung x = 1

Comments

Schön einfache Repräsentation, die du hier angibst: 

REP = { ( 1 ; i ) | i ∈ R }

So wie ich das verstehe, müsste es aber

REP = { ( 1 ; i ) | i ∈ R } u {(0,1)} heissen.