Äquivalenzklassen: Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist. R={x,y∈Z | x-y durch 5 teilbar}

Question

Aufgabe:

Auf den ganzen Zahlen sei folgende Relation gegeben:

\( R=\{(x, y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} | x-y \text { ist durch } 5 \text { teilbar }\} \)

1. Zeigen Sie, dass \( R \) eine Äquivalenzrelation ist.

2. Bestimmen Sie die Äquivalenzklasse von 0 bezüglich \( R \).

3. Wie viele verschiedene Äquivalenzklassen gibt es? Begründen Sie ihre Antwort.

Comments

Zu 2. und 3.

Das läuft auf die Restklassen bei

https://www.mathelounge.de/3772/wann-benutze-ich-≡-und-wann?show=3799#a3799

raus.

Bei 2. Die Menge {… -15, -10, -5, 0, 5, 10,…}

Zu 1. : Du musst die Eigenschaften in der Definition von Äquivalenzrelationen überprüfen.

Wie formal habt ihr die definiert?

Answer 1

1. Um zu zeigen, dass R eine Äquivalenzrelation ist, müssen die folgenden drei Eigenschaften erfüllt sein:
Reflexivität: für jedes x in Z, (x,x) in R. Dies ist erfüllt, da x-x = 0, die durch 5 teilbar ist.
Symmetrie: für jedes x,y in Z, falls (x,y) in R, dann (y,x) in R. Dies ist erfüllt, da wenn x-y durch 5 teilbar ist, dann y-x auch durch 5 teilbar ist.

Transitivität: für jedes x,y,z in Z, falls (x,y) in R und (y,z) in R, dann (x,z) in R. Dies ist erfüllt, da wenn x-y und y-z durch 5 teilbar sind, dann x-z = (x-y)+(y-z) auch durch 5 teilbar ist.

Da alle drei Eigenschaften erfüllt sind, ist R eine Äquivalenzrelation.

2. Die Äquivalenzklasse von 0 bezüglich R besteht aus allen Zahlen x in Z, für die (0,x) in R. Da 0-x durch 5 teilbar ist, wenn und nur wenn x ist durch 5 teilbar, die Äquivalenzklasse von 0 ist die Menge der durch 5 teilbaren Zahlen.

3. Es gibt unendlich viele Äquivalenzklassen, eine für jede Zahl modulo 5. Jede Zahl modulo 5 bildet eine eigene Äquivalenzklasse, da jede Zahl modulo 5 unterschiedlich ist und durch 5 teilbar ist. Beispielsweise die Klasse [0], [5], [10] usw.