Zeigen Sie, dass es sich bei Mn um eine Äquivalenzrelation handelt und bestimmen Sie die Anzahl Ihrer Äquivalenzklassen.

Question

Aufgabe:

Sei n Element von N gegeben. Auf Z definieren wir folgende Relation:

siehe unten im Bild

Zeigen Sie, dass es sich bei Mn um eine Äquivalenzrelation handelt und bestimmen Sie die Anzahl Ihrer Äquivalenzklassen.

Problem/Ansatz:

bin leider etwas überfordert mit der Aufgaben bitte um Hilfe!

Text erkannt:

pen. Auf \( \mathbb{Z} \) definieren wir folgende Relation:
\( M_{n}:=\{(a, b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \mid \exists c \in \mathbb{Z}: b-a=n c\} \)

Answer 1

reflexiv:

Jedes Paar (a,a) ist in M_n. Das stimmt; denn a-a=0 und es gibt ein c∈ℤ

mit c*n=0 nämlich c=0.

symmetrisch: Wenn (a,b)∈M_n, dann auch (b,a). Stimmt auch; denn wenn

b-a=c*n dann a-b=(-c)*n und mit c∈ℤ gilt auch -c∈ℤ.

transitiv: Wenn (a,b)∈Mn und (b,c)∈Mn, dann auch (a,c)∈Mn,

Stimmt auch, denn

b-a=c1*n und c-b=c2*n

==>  c-a= c-b+b-a = c1*n + c2*n = (c1+c2)*n.

Also Äquivalenzrel.

Answer 2

Hallo

a)  schreib die  Def von Äquivalenz relation auf und zeige sie nacheinander, das ist eben Schreibarbeit.

b) setzt n= 2 oder 3, dann kannst du leicht abzählen, daraus schließe auf n allgemein.

ich hoffe dir ist klar etwa für n=3 dass die Differenz durch 3 Teilbar sein muss.

Gruß lul