ich glaube, du meinst in etwa das richtige, aber mathematisch hast du es unsauber aufgeschrieben. Deine Äquivalenzrelation ist nämlich folgendermaßen definiert:
\((a,b) \sim (c,d) \iff \exists \lambda \in (\mathbb{R}\setminus \{0\}): \begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\lambda c \\ \lambda d\end{pmatrix}\).
Nun wollen wir zeigen, dass es tatsächlich eine Äquivalenzrelation ist. Dazu müssen wir die Axiome nachweisen, die du bereits in einem anderen Kommentar verfasst hast. Fangen wir mit der Reflexion an.
\((a,b) \sim (a,b)\) ist klar, wenn wir \(\lambda = 1\) setzen.
Symmetrie:
\((a,b) \sim (c,d) \iff \exists \lambda \in (\mathbb{R}\setminus \{0\}): \begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\lambda c \\ \lambda d\end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \)
Da \(\lambda \in (\mathbb{R}\setminus \{0\})\), können wir durch \(\lambda\) teilen. Mit \(\delta := \lambda^{-1} \in \mathbb{R}\) erhalten wir dann
\(\exists \delta \in (\mathbb{R}\setminus \{0\}): \begin{pmatrix} \delta a \\ \delta b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \iff (c,d) \sim (a,b)\).
Bleibt noch die Transitivität: Es sei \((a,b) \sim (c,d)\) und \((c,d) \sim (e,f)\). Damit gibt es \(\lambda, \gamma \in (\mathbb{R}\setminus \{0\})\) mit
\(\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda c \\ \lambda d \end{pmatrix}\)
und
\(\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma e \\ \gamma f \end{pmatrix}\).
Wir erhalten damit dann
\(\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda c \\ \lambda d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda (\gamma e) \\ \lambda (\gamma f) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (\lambda \gamma) e \\ (\lambda \gamma) f \end{pmatrix} \stackrel{\delta := \lambda \gamma}{=} \begin{pmatrix} \delta e \\ \delta f \end{pmatrix} \).
Dies ist äquivalent dazu, dass \((a,b) \sim (e,f)\).
q.e.d.
Lg
