Operationen mit Matrizen/Vektoren

Question

Gegeben sind zwei Matrizen

\( \mathbf{A}=\left(\begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{array}\right), \quad \mathbf{B}=\left(\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right) \)

und drei Vektoren \( \vec{x}=(1,1,0)^{T}, \vec{y}=(-1,1,2)^{T}, \vec{z}=(-2,1)^{T} \).

Berechnen Sie, falls definiert, die folgenden Skalarprodukte (begründen Sie gegebenenfalls, warum Ausdrücke nicht definiert sind):

(a) \( \langle\vec{y}, \mathbf{B} \vec{x}\rangle \)

(b) \( \langle\mathbf{B} \vec{z}, \vec{y}\rangle \)

(c) \( \langle\mathbf{B} \vec{z}, \vec{z}\rangle \)

(d) \( \langle\vec{y}, \mathbf{A} \vec{x}\rangle \)

(e) \( \left\langle\mathbf{A}^{T} \vec{y}, \vec{x}\right\rangle \)

(f) \( \langle\vec{x}, \mathbf{A} \vec{z}\rangle \)

(g) \( \left\langle\mathbf{B}^{T} \vec{y}, \vec{x}\right\rangle \)

(h) \( \langle\vec{x}, \mathbf{B} \vec{z}\rangle \)

(i) \( \left\langle\mathbf{B}^{T} \vec{x}, \vec{y}\right\rangle \)

Answer 1

Hi, also zuerst muss Du mal untersuchen ob die Multiplikationen von Matrix und Vektoren überhaupt definiert sind. Die sind dann definiert wenn die Matrix soviele Spalten hat wie der Vektor Zeilen hat. Damit fällt die Berechnung verschiedener Ausdrücke schon mal weg, nämlich alle Ausdrücke die B*x oder B*y enthalten, weiterhin fallen alle Ausdrücke fort die A*z enthalten. Außerdem muss beim Skalarprodukt gewährleistet sein, dass die beiden Vektoren die skalar multipliziert werden gleiche Länge haben.  Damit fallen nochmals einige Aufgaben fort. Damit bleiben nur noch folgende Aufgaben übrig b, d, e, h. Du kannst ja mal die Begründung posten, dann kann ich drüber schauen, ob Deine Begründung auch korrekt ist.

Comments

Man kann doch die Matrix-Vektoren als Rechteck betrachten (a*b), also Länge mal Breite. Aufgabe b) hat eine Länge von 2 und eine breite von 3. z erfüllt die Länge und y erfüllt die Breite bezüglich Vektor B. Genauso, verhält es sich in den anderen Aufgaben d), e) und h). Dort stimmen Länge und Breite für die jeweiligen Vektoren zu. Bezüglich der Berechnung für die Aufgaben b), d), e) sowie h) muss man die Form aufstellen, wie ich es schon oben probehalber hingeschrieben habe, oder gibt es eine andere Rechenregel?

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Rechenbeispiel b):

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Hallo ullim,

Deine Erklärung hat mir schon sehr weitergeholfen, dennoch weiß ich immer noch nicht, ob der Rechenweg richtig ist. Ich habe Vektor B zuerst mit z multipliziert und dann mit y.

Grüße

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Hi,
also ein Skalrprodukt als Ergebnis keinen Vektor liefern, da kommt eben ein Skalar (Zahl) raus, deshalb ja auch der Name. Rechne doch mal nach das gilt \( B\cdot z=\left( \begin{matrix} -3 \\ 3 \\ 1   \end{matrix}  \right)  \) ist. Und \( (Bz)^Ty=8 \) ist. Die Definition des Skalarprodukts (x,y) ist nämlich \( x^T\cdot y \)

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x*y=1²+1²+0²+(-1)²+1²+2²=8

Mal sehen wie ich auf (-3|3|1) komme.

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(-3|3|1) habe ich bereits gelöst. Aber von diesen Vektor brauche ich keinen Skalarprodukt bilden, oder?
(-3)²+3²+1²=19

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Hi,
von dem Vektor B*z musst Du nicht den Betrag ausrechnen und von einem Vektor alleine kann man auch kein Skalarprodukt ausrechnen, da ein Skalarprodukt immer zwei Vektoren benötigt. Mach Dir nochmal klar wie ein Skalarprodukt ausgerechnet wird. Poste doch mal die Berechnungsvorschrift für ein Skalarprodukt.

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Skalarprodukt:

\( \vec{a} \cdot \vec{b}=\left(\begin{array}{l} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array}\right)=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3} \)
Zum Beispiel berechnet sich das Skalarprodukt der beiden Vektoren
\( \vec{a}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) \text { und } \vec{b}=\left(\begin{array}{c} -7 \\ 8 \\ 9 \end{array}\right) \)
wie folgt:
\( \vec{a} \cdot \vec{b}=1 \cdot(-7)+2 \cdot 8+3 \cdot 9=36 \)

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Hi,

ja das ist ok. Damit hast Du das Skalarprodukt im Prinzip richtig verstanden.