Definition eines Vektorraumes: Vektoren sind nicht aus einem Körper, doch die Koeffizienten?

Question

 

Ich hab kurz eine Frage zu der Definition eines Vektorraumes bzw. zu Vektoren: Eine Vektorraum besteht ja aus einer abelschen Gruppe und bestimmten Regeln bezgl. einer Skalarmultiplikation mit diesen Vektoren.

Die Elemente der abelschen Gruppe - sprich die Vektoren - müssen nun ja nicht aus einem Körper sein.

In diesem Wikipedia-Artikel: Basis (Vektorraum) steht jedoch:

"Die Koeffizienten, die in der Darstellung eines Vektors als Linearkombination von Vektoren aus der Basis B auftreten, nennt man die Koordinaten des Vektors bezüglich B. Diese sind Elemente des dem Vektorraum zugrunde liegenden Körpers K (z. B. R oder C)"

Irgendwie verstehe ich hier etwas nicht: Die Vektoren sind selbst zwar nicht aus einem Körper, aber die Koeffizienten, mit denen man sie darstellt schon?

Thx

 

Answer 1

Ja, das ist richtig. Die Koeffizienten dieser Basisdarstellung (die man auch als Koordinaten bezüglich der gegebenen Basis bezeichnet) stammen aus dem sogenannten Grundkörper des Vektorraums, der zwangsläufig Teil der Definition des Vektorraums sein muss: aus ihm stammen die Skalare, mit denen die Vektoren skaliert werden können.

Im Allgemeinen ist das die Menge der reellen Zahlen, für diskrete Vektorräume kann es auch die Menge der ganzen oder sogar der natürlichen Zahlen sein. (Betrachte z.B. den Vektorraum der Resonanzfrequenzen einer eingespannten Saite: die Summe zweier Resonanzfrequenzen ist wieder eine Resonanzfrequenz und das Produkt einer Resonanzfrequenz mit einer beliebigen positiven ganzen Zahl ist wieder eine Resonanzfrequenz => es handelt sich um einen Vektorraum mit dem Grundkörper N)

Tatsächlich dürfen diese Koordinaten gar nicht aus dem Vektorraum selbst stammen, schließlich ist die Vektormultiplikation a priori überhaupt nicht definiert und wird möglicherweise (siehe das Skalarprodukt) sogar aus dem Vektorraum hinaus.

Die Multiplikation mit Skalaren aus dem Grundkörper bleibt dagegen gemäß der Definition des Vektorraums nicht aus ihm heraus.

 

Nochmal zur Klarheit: ein Vektorraum (V, +) ist immer über einem Körper (K, +, *) definiert, wo außerdem eine Verknüpfung •:KxV->V definiert ist, die außerdem distributiv mit + und * ist (wobei + hier sowohl das + des Körpers als auch des Vektorraums meint.)