Konvergenz einer Folge mit Definition der konvergenten Folge zeigen: Warum klappts hier nicht?

Question

ich wollte nun mit der Definition der konvergenten Folge zeigen, dass $$a_n := \sqrt{n+1} - \sqrt{n-1}$$ gegen 0 konvergiert. Also

$$| a_n - 0 | = | a_n | < \epsilon $$

$$| \sqrt{n+1} - \sqrt{n-1} | = | \frac{  (\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1})  }{ \sqrt{n+1} + \sqrt{n-1} } | = | \frac{2}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n-1}} | = \frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}} < \epsilon$$

$$\Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n+1}} = \frac{2}{2 \sqrt{n+1}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}}< \frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}} < \epsilon$$

$$\Leftrightarrow \sqrt{n+1} > \frac{1}{\epsilon} \Leftrightarrow n+1 > \frac{1}{\epsilon^2} \Leftrightarrow n > \frac{1}{\epsilon^2} - 1$$

Also muss $$n_0 > \frac{1}{\epsilon^2} - 1$$ sein.

Das stimmt aber für Epsilon = 1 nicht...

$$\epsilon = 1 \Rightarrow \frac{1}{1^2} - 1 = 0 \Rightarrow n_0 = 1 \Rightarrow | a_1 | = \sqrt{2} = 1,41... > 1 = \epsilon$$

Wo liegt der Fehler? Ich konnte bei obigen Überlegungen auch nach längerem Hinschauen nichts feststellen...

Danke,

Thilo

Comments

Du schätzt in der ersten Äquivalenz in die falsche Richtung ab.

Die Bestimmte das n₀ für die Minorante 1/(n+1)^0.5, eine Majorante wär angebrachter.

Mal ganz abgesehen davon, dass hier mit Äquivalenzen zu arbeiten nicht wirklich sinnvoll ist.

Du vergisst auch die Quantoren vor der Aussage mitzunehmen.

Answer 1

Hallo Thilo87,

um für

\( \frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}} < \epsilon \)

eine Vereinfachung zu finden, kannst du den linken Term nach oben abschätzen durch

\( \frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}} < \frac{2}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n-1}} = \frac{1}{\sqrt{n-1}} \).

Findest du nun ein \( \epsilon \), sodass

\( \frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}} < \frac{2}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n-1}} < \epsilon \),

so kannst du gemäß deiner Gleichung umstellen:

\( \frac{1}{\sqrt{n-1}} < \epsilon \),

\( n > \frac{1}{\epsilon^2} + 1 \)

und erhältst ein plausibles Ergebnis.

MfG

Mister

PS: Wie im Kommentar von Anonym angekündigt, haben wir hier also statt der Minorante eine Majorante für den Ausdruck \( \frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}} \) benutzt. \( \frac{2}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n-1}} = \frac{1}{\sqrt{n-1}} \) ist diese Majorante.