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Welche der folgenden aussagen entspricht/entsprechen der Definition einer konvergenten Reihe? Wenn es Nichtentsprechungen gibt: Begründe warum nicht!

a.) an→a ⇔ ∀ε>0 ∃n0∈ℕ:Betrag von (an-a) < ε ∀n≥n0

b.)an→a ⇔ ∀n∈ℕ ∃ε>0: Betrag von (an-a)<ε

c.) In jeder noch so kleinen ε-Umgebung von a liegen fast alle (d. h. alle bis auf endlich viele) Folgenglieder darin.

d.) In jeder noch so kleinen ε-Umgebung von a liegen unendlich viele Folgeglieder.

Also es stimmen doch b und c oder? Aber wie kann ich die falschen Behauptungen begründen, dass sie falsch sind?

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> Also es stimmen doch b und c oder? 

Es stimmen a) und c)

b.)an→a ⇔ ∀n∈ℕ ∃ε>0: Betrag von (an-a) <ε

Das stimmt bei jeder Folge: Wähle zu gegebenem n  jeweils ε = 2 * |an - a|     

d.) In jeder noch so kleinen ε-Umgebung von a liegen unendlich viele Folgeglieder.

Bei der Folge  1,2,1,2,1,2, ...   liegen sowohl in der Umgebung von 1 als auch in der Umgebung von 2 unendlich viele Folgenglieder, die Folge ist aber nicht konvergent.

Gruß Wolfgang

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