Frage zu einer mathematischen Definition von linear unabhängig

Question

Die Definition lautet   "Def 10.4: man nennt Vektoren v1, . . . , vn ∈ V linear abhängig wenn es Zahlen a1, . . . , an ∈ K gibt ≠ 0 sodass: a1v1 + . . . + anvn = 0" jetzt verstehe ich nicht, warum es erstmal heißt sie sollen ungleich 0 sein und dann das Ergebnis 0 ist..

Answer 1

> warum es erstmal heißt sie sollen ungleich 0 und dann das Ergebnis 0 ist

Weil es sonst sinnlos wäre, den Begriff linear abhängig zu definieren. Es gilt nämlich für alle Vektoren v₁, . . . , v_n ∈ V, dass 0·v₁ + . . .+ 0·v_n = 0 ist.

Comments

ja genau so habe ich mir das auch gedacht also 0*v1 + 0*v2 etc.. aber die sollen doch ungleich 0 sein? ich verstehs nicht

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Es sei v₁ = (6 -9) und v₂ = (-4 6).

Natürlich ist 0·v₁ + 0·v₂ = (0 0).

Aber es ist auch 1/3·v₁ + 1/2·v₂ = (0 0).

Letzteres ist laut obiger Definition der Grund, warum die Vektoren (6 -9) und (-4 6) linear abhängig sind.

Im Gegensatz dazu sind die Vektoren v₃ = (-1 2) und v₄ = (2 -1) nicht lineare abhängig. Weil wenn

        a·v₃ + b·v₄ = 0

gelten soll, dann muss a = b = 0 sein.

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Achsoooo! Ja jetzt macht alles Sinn :)