Lineare Unabhängigkeit eines einzelnen Vektors

Question

laut Definition gilt ja, dass die \(n\) Vektoren \( \vec{a_{1}},\vec{a_{2}},...,\vec{a_{n}}\) linear abhängig heißen, wenn (mindestens) einer dieser Vektoren als Linearkombination der restlichen Vektoren darstellbar ist. Andernfalls heißen die Vektoren linear unabhängig.

Was ist jetzt aber, wenn man nur einen Vektor hat und diesen auf lineare (Un)abhängigkeit untersuchen soll? Dieser wäre dann ja immer linear unabhängig, da man keine "restlichen" Vektoren hat, welche man als Linearkombination darstellen könnte. Aber nach einer anderen Definition:

Die Vektoren \( \vec{a_{1}},\vec{a_{2}},...,\vec{a_{n}}\) heißen linear unabhängig, wenn der Nullvektor aus genau einer Linearkombination dieser Vektoren darstellbar ist.  Andernfalls heißen die Vektoren linear abhängig.

wäre der Nullvektor für sich allein linear abhängig, was ja widersprüchlich zu der ersten Definition ist, oder?

Für eine Klarstellung wäre ich sehr dankbar! :)

Answer 1

Im Folgenden stehe 0v für den Nullvektor:

Das System (0v) das nur den Nullvektor enthält ist linear abhängig. Eine nichttriviale Linearkombination des Nullvektors wäre: 1*0v=0v

Für einen Vektor v ungleich dem Nullvektor ist das System (v) immer linear unabhängig: x*v=0v gilt nur für x=0

Die erste Definition ist nur brauchbar, wenn man mindestens zwei Vektoren vorliegen hat, da bei einem einzelnen Vektor der Spezialfall (0v) nicht abgedeckt wird. Man verwendet deshalb eigentlich meistens immer die zweite Definition.

Answer 2

Ein einzelner Vektor ist linear unabhängig, wenn er nicht der Nullvektor ist. Der Nullvektor als einzelner Vektor ist linear abhängig. Guckst du hier.