Vektoren, Nullvektor und lineare Abhängigkeit

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Vektoren

\(a=\begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}, \quad b=\begin{pmatrix}3\\-5\\1\end{pmatrix}\).

a) Geben Sie einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor \(x\) an, so dass die Vektoren \(a, b\) und \(x\) linear abhängig sind, und \(x\) ungleich \(a\) und \(x\) ungleich \(b\).

\(x =?\)

b) Geben Sie Vektor \(y\) an, so dass die Vektoren \(a, b\) und \(y\) linear unabhängig sind.

\(y=?\)

Weiß jemand, wie man auf die Vektoren kommt und kann mir dabei helfen? :)

Answer 1

Hallo :-)

Du musst für beide Aufgaben dieses LGS betrachten:

\(\lambda\cdot a+\mu\cdot b=\lambda\cdot \begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}+\mu\cdot \begin{pmatrix}3\\-5\\1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=x\) oder in Matrixschreibweise:

\(\left(\begin{array}{cc|c}-2&3&x_1\\1&-5&x_2\\3&1&x_3\end{array}\right)\)

Das musst du nun in Abhängigkeit von \(x_1,x_2,x_3\) auf Lösbarkeit überprüfen.