Man definiert das einfach so. Zwei Argumente die dafür sprechen sind:
- Ist V ein Vektorraum und \( M \subseteq V \) eine Teilmenge, dann ist die lineare Hülle von M gerade der kleinste Untervektorraum von V der M enthält. Bei der leeren Menge ist das eben der Nullraum.
- Eine Summe ohne Summanden nennt man "leere Summe". Diese hat per Konvention den Wert 0. Die lineare Hülle einer Menge \( M \subseteq V \) ist ja
$$ \operatorname{Lin} M := \left\{ \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i ~\middle|~ n\in\mathbb{N}, ~\lambda_i \in K,~v_i \in M \right\} $$
Wenn du jetzt die lineare Hülle der leeren Menge betrachtest: $$ \operatorname{Lin} \emptyset := \left\{ \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i ~\middle|~ n\in\mathbb{N}, ~\lambda_i \in K,~v_i \in \emptyset \right\} $$ findest du darin nur eine Summe ohne Summanden, da du ja keine \( v_i \) aus der leeren Menge wählen kannst, die leer Summe ist aber per Konvention = 0, also liegt der 0 Vektor darin.
