Implizites Differenzieren mit der Kettenregel

Question

die Aufgabe lautet:

Es sei Y=10KL - √K - √L. Nehmen Sie ferner an, dass K=0.2t + 5 und L =5e^0.1t. Bestimmen Sie dY/dt für t=0.

Nun meine Lösungen stimmen bis hier überein:

dY/dt = (10L - 1/2K^-1/2)*0.2 + (10K - 1/2L^-1/2)*0.5e^0.1t

dann habe ich K und L ersetzt und t=0 gesetzt, doch ich komme nicht auf das gewünschte Resultat von 35-7√5/100.

Ich erhalte eine Zahl nahe bei 100

Answer 1

Es sei \( Y=10 \cdot K \cdot L-\sqrt{K}-\sqrt{L} \)
\( K=0,2 t+5 \)
\( L=5 \cdot e^{\frac{1}{10} t} \)
\( Y=10 \cdot\left(\frac{1}{5} t+5\right) \cdot 5 \cdot e^{\frac{1}{10} t}-\sqrt{\frac{1}{5} t+5}-\sqrt{5 \cdot e^{\frac{1}{10} t}} \)
\( Y=50\left(\frac{1}{5} t+5\right) \cdot e^{\frac{1}{10} t}-\sqrt{\frac{1}{5} t+5}-\sqrt{5 \cdot e^{\frac{1}{10} t}} \)
\( \frac{d y}{d t}=50 \cdot\left[\frac{1}{5} \cdot e^{\frac{1}{10} t}+\left(\frac{1}{5} t+5\right) \cdot \frac{1}{10} \cdot e^{\frac{1}{10} t}\right]-\frac{\frac{1}{5}}{2 \sqrt{5 \cdot e^{\frac{1}{10}} t}}-\frac{5 \cdot \frac{1}{10}}{2 \cdot \sqrt{5 \cdot e^{\frac{1}{10} t}}} \)
\( \frac{d y}{d t}(0)=50 \cdot\left[\frac{1}{5} \cdot e^{\frac{1}{10} \cdot 0}+\left(\frac{1}{5} \cdot 0+5\right) \cdot \frac{1}{10} \cdot e^{\frac{1}{10} \cdot 0}\right]-\frac{\frac{1}{5}}{2 \sqrt{5 \cdot e^{\frac{1}{10} \cdot 0}}}-\frac{5 \cdot \frac{1}{10}}{2 \cdot \sqrt{5 \cdot e^{\frac{1}{10} \cdot 0}}} \)
\( \frac{d y}{d t}(0)=50 \cdot\left[\frac{1}{5}+5 \cdot \frac{1}{10}\right]-\frac{\frac{1}{5}}{2 \sqrt{5}}-\frac{5 \cdot \frac{1}{10}}{2 \cdot \sqrt{5}} \)
\( \frac{d y}{d t}(0)=50 \cdot\left[\frac{7}{10}\right]-\frac{\frac{1}{5}}{2 \sqrt{5}}-\frac{\frac{1}{2}}{2 \cdot \sqrt{5}} \)
\( \frac{d y}{d t}(0)=50 \cdot\left[\frac{7}{10}\right]-\frac{1}{10 \sqrt{5}}-\frac{1}{4 \cdot \sqrt{5}}=35-\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot\left(\frac{1}{10}+\frac{1}{4}\right)=35-\frac{1}{5} \sqrt{5} \cdot\left(\frac{1}{10}+\frac{1}{4}\right)=35-\sqrt{5} \cdot\left(\frac{1}{50}+\frac{1}{20}\right)= \)
\( =35-\sqrt{5} \cdot\left(\frac{2}{100}+\frac{5}{100}\right) \)
\( \frac{d y}{d t}(0)=35-\sqrt{5} \cdot\left(\frac{7}{100}\right) \)