Änderungsrate-Ableitung

Question

Ein flüssigkeitsbehälter wird durch ein Ventil entleert. Zum Zeitpunkt t ist im Behälter das Volumen V(t). Präzisiere die Begriffe mittlere Ausflussgeschwindigkeit in einem Zeitintervall und momentane Ausflussgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t; deute diese Begriffe am Graphen der Funktion t->V(t). Verwende auch den Begriff der Änderungsrate.

Answer 1

Die mittlere Ausflussgeschwindigkeit v_mittel im Zeitintervall [ t₁ , t₂ ] ist:

v_mittel = ( V ( t₂ ) - V ( t₁ ) ) / ( t₂ - t₁) 

Im Graphen ist das die Steigung der Geraden ("Sekante") durch die Punkte ( t₁ | V ( t₁)  ) und ( t₂ | V ( t₂)  ).

v wird auch als "mittlere Änderungsrate" bezeichnet.

 

Für die momentane Ausflussgeschwindigkeit v_mom zum Zeitpunkt t gilt:

v_mom = lim _h->0 ( V ( t + h ) - V ( t ) ) / ( t + h - t )

Im Graphen ist das die Steigung der Tangenten an V ( t ) im Punkt ( t | V ( t ) ).

Der genannte Grenzwert definiert im Falle seiner Existenz die Ableitung V ' ( t ).

v_mom wird auch als "momentane Änderungsrate" bezeichnet.