Lineare Abhängigkeit von drei Vektoren

Question

muss bestimmen ob die Vektoren linear abhängig sind.

a=(1, 2, 0) b = (0, 1, 3) c = (1, 1, -3)

So ich weiß aber, dass a und b nicht linear abhängig sein können wegen den zwei Nullen an zwei verschiedenen Stellen. Wie kann ich nun aber Überprüfen, ob a zu c oder b zu c linear abhängig ist.

Danke

Answer 1

x und y linear abhängig

<=> ∃_keR x = k * y

Also:

a und c linear abhängig

<=> ∃_keR a = k * b

<=> ( 1 | 2 | 0 ) = k * ( 1 | 1 | - 3 )

<=>

1 = k * 1
2 = k * 1
0 = k * ( - 3 )

Die ersten beiden Zeilen widersprechen sich offensichtlich

=> ¬ ( ∃_keR a = k * b )

=> a und c linear unabhängig.

 

Ebenso für b und c

Answer 2

Wenn du die Gleichung

xa + yb = c          widerspruchsfrei nach x und y auflösen kannst, sind a,b und c linear abhängig. Sonst nicht.

Oder (anderer Weg), falls du das Spatprodukt kennst:

Wenn das Spatprodukt der Vektoren a, b und c Null ist, sind die Vektoren linear abhängig. Sonst nicht.

Die Unabhängigkeit von je 2 Vektoren hat JotEs gezeigt.

Comments

Weil hier a - b = c gilt, sind in der ersten Methode x = 1 und y= -1.
Daher sind die drei Vektoren linear abhängig.