Die Definition ist nicht Null. Die Definition ist eine Aussage, die einem Sachverhalt einen Namen gibt.
Die herleitung warum es Null sein muss ist mir nicht klar??
Es gibt keine Herleitung, warum es Null sein muss. Wenn du eine Definition liest, dann solltest du nicht nach Herleitungen fragen. Stattdessen solltest du dich fragen:
- Welcher Sachverhalt hat einen Namen bekommen?
- Warum ist der definierte Sachverhalt etwas besonderes (das einen eigenen Namen verdient)?
- Welche Beispiele gibt es für den definierten Sachverhalt?
- Welche Beispiele fallen nicht unter den definierten Sachverhalt?
Zu Punkt 1. Die Tatsache, dass der Nullvektor nur durch die triviale Linearkombination der Vektoren einer Menge dargestellt werden kann, hat einen Namen bekommen. Die Menge heißt dann linear unabhängig.
Zu Punkt 2. Den überspringe ich fürs erste.
Zu Punkt 3. Die Menge \(\left\{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} \right\}\) ist linear unabhängig, weil wenn \(r\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} + s\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \) ist, dann muss \(r=s=0\) sein (die triviale Linearkombination des Nullvektors. weil sie mit jeden Vektoren funktioniert).
Zu Punkt 4. Die Menge \(\left\{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} \right\}\) ist nicht linear unabhängig, weil zum Beispiel \(2\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} +2\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} + (-2)\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \) eine nicht-triviale Linearkombination des Nullvektors ist.
Zurück zu Punkt 2. Die Gleichung
\(r\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \)
kann man umstellen zu
\(r\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} + s\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} + t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} + t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \)
und schließlich zu
\((r+t)\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} + (s+t)\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \).
Die Menge der Vektoren \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \), die man als Linearkombination darstellen kann, hat sich also durch Hinzunahme des Vektors \(\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\) gegenüber der Mange \(\left\{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\right\}\) nicht verändert. In der Menge \(\left\{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right\}\) gibt es also einen Vektor, der sozusagen überflüssig ist. Und das ist die Idee hinter linearer Abhängigkeit.
