lineare abhängigkeit von zwei vektoren nachweisen

Question

Vektor a [2,-4,6]    Vektor b [-3,6,-9]

Es ist ja leicht zu erkennen, dass diese zwei Vektoren linear abhängig sind.

Man erhält ja y₁=3 und y₂=2.

Ich möchte das gerade mit dem Gaußverfahren nachweisen (auch wenn es hier sehr umständlich ist) komme aber irgendwie nicht auf die richtige Lösung.

Hier mein Ansatz:

2       -3     0

-4      6      0

6       -9     0

und dann

2      -3     0

0       0     0

0       0     0

Ich habe also zwei Variablen aber nur eine "verwertbare" Gleichung. Demzufolge müsste dieses Gleichungssystem doch unendlich viele Lösungen haben, wenn man jetzt in der ersten Zeile y1 oder y2 fixiert und nach y1 oder y2 umstellt. Aber auf y1=3 und y2=2 komme ich leider nicht.

Wo ist denn bei meiner Rechnung der Fehler?

LG

Answer 1

Hallo Simon,

> wenn man jetzt in der ersten Zeile y1 oder y2 fixiert und nach y1 oder y2 umstellt. Aber auf y1=3 und y2=2 komme ich leider nicht.

Sei y₂ = 2  "fixiert"

2 * y₁  -  3 * 2 = 0    →  y₁ = 3   ,  wo ist dein Problem?  

Umgekehrt geht es natürlich auch.

Gruß Wolfgang

Comments

Es gibt aber unendlich viele Lösungen oder?

Laut meinem Lösungsbuch gibt es nur die eindeutige Lösung [3,2]. Das macht mich stutzig :)

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Dein richtiges Ansatzsystem zur umständlichen Überprüfung der linearen Unabhängigkeit hat unendlich viele Lösungen.

Außerdem ist der Nullvektor immer eine triviale Lösung dieser Systeme.

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Ich meinte mit [3,2] eigentlich  die Lösung für y1 und y2 oder wie auch immer die Faktoren bezeichnet werden :)

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Ändert aber nichts an den unendlich vielen Lösungen. Du erhältst für jedes y₁ ∈ ℝ ein passendes y₂ und umgekehrt und wie gesagt: Der Nullvektor ( hier [0,0]) ist bei diesen LGS sowieso immer eine Lösung. 

Die Lösungsmenge ist  { (x,y) ∈ ℝ² |  [x , y]  =  r * [3/2 , 0]  + s * [0,1]  mit r,s ∈ ℝ }

Answer 2

Zwei Vektoren u und v sind genau dann linear unabhängig, wenn die Gleichung

a * u + b * v = 0

nur die Triviallösung a = b = 0 hat.

Bei dir löst du das Gleichungssystem und hast dann in der ersten Zeile

2a - 3b = 0

Hier gibt es aber nicht nur die Triviallösung sondern unendlich viele Lösungen. Daher sind die Vektoren linear abhängig.