Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit der Vektoren: {(2,7)^t, (6,2)^t, (1,0)^t}

Question

Aufgabe:

Entscheiden Sie, ob die folgenden Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind:

a) \( \left\{(0,2,0)^{t},(2,-1,3)^{t},(0,3,-1)^{t}\right\} \)

b) \( \left\{(2,7)^{t},(6,2)^{t},(1,0)^{t}\right\} \)

c) \( \left\{(2,3,-1)^{t},(6,-2,3)^{t},(-2,-3,1)^{t}\right\} \)

Begründen Sie Ihre Antwort.

Answer 1

a) Schreibe eine Matrix M mit den gegebenen Vektoren in den Spalten.

M kann man nun durch Zeilen- und Spaltenvertauschung auf Dreiecksform ohne 0 in der Diagonalen bringen. 

Daher 3 linear unabhängige Vektoren.

b) 3 Vektoren in 2-dim. Raum sind immer linear abhängig.

c) Der erste und der dritte Vektor sind Gegenvektoren. 

Nenne sie Vektoren u,v,w.

Nun gilt 1*u + 0*v + 1*w = 0   Nullvektor. 

Weil (1,0,1) ≠ (0,0,0), gilt: u,v und w sind linear abhängig.

Anmerkung: Vektoren fett geschrieben. Pfeile darüber bitte selbst ergänzen.