Funktion nach x auflösen: f(x) = 0,5·(4-(4/9)x^2)^{-0,5}·(-8/9) x

Question

Nach x auflösen bei folgender Funktion: f(x) = 0,5·(4-(4/9)x^2)^{-0,5}·(-8/9) x

Das ist die 1. Ableitung und ich möchte die Extrempunkte ausrechnen.

Comments

Es hat ein extrempunkt nämlich das Maximum der parabel und die ist nach unten geöffnet wegen dem negativen Koeffizient du kommst auf den Maximum indem du die Nullstellen berechnest d.h. die für f(x) 0 einsetzten dann verwendest du das arithmetische mittel und hast somit die stelle des Maximum also x um y zu bekommen musste du x einsetzten somit hast du (x|y)

Answer 1

Wenn ich es richtig verstanden habe, ist die gegebene Funktion

f ( x ) = 0,5*(4-(4/9)x²)^-0,5*(-8/9) x

die Ableitung einer Funktion F ( x ) und du sollst ( oder willst ) die Extremstelle von F ( x ) bestimmen. Dazu hast du die Ableitung f ( x ) gebildet und willst nun deren Nullstelle(n) bestimmen, weil nur dies Extremstellen von F ( x ) sein können.

Ist das richtig?

 

Nun, f ( x ) kann man auch so schreiben:

f ( x ) = 0,5 * ( 4 - ( 4 / 9 ) x ² ) ^{- 0,5} * ( - 8 / 9 ) x

= - ( 4 / 9 ) x / √ ( 4 - ( 4 / 9) x ² )

= - ( 4 / 9 ) x / √ ( ( 36 / 9 ) - ( 4 / 9) x ² )

= - ( 4 / 9 ) x / √ ( ( 4 / 9 ) * ( 9 - x ² ) )

= - ( 4 / 9 ) x / ( 2 / 3 ) * √ ( 9 - x ² ) )

= ( - 2 / 3 ) x / √ ( 9 - x ² )

= - 2 x / ( 3 √ ( 9 - x ² ) )

bzw. in TeX:

$$\frac { -2x }{ 3\sqrt { 9-{ x }^{ 2 } }  }$$

und das ist mitnichten eine Parabel.

 

Auch die Stammfunktion F ( x ) von f ( x ) ist keine Parabel, diese habe ich mir mal von WolframAlpha berechnen lassen.  Sie lautet:

F ( x ) = ( 2 / 3 ) * √ ( 9 - x ² )

 

Die Graphen der Stammfunktion F( x ) und der Ableitung f ( x ) sehen so aus:

Wie man sieht, hat zwar die Stammfunktion F ( x ) eine Extremstelle, nicht aber die Ableitung f ( x ) .

Um nun die Extremstelle von F ( x ) zu finden muss man die Ableitung f ( x ) gleich Null setzen und nach x auflösen, also:

f ( x ) = - 2 x / ( 3 √ ( 9 - x ² ) ) = 0

Ein Bruch hat genau dann den Wert 0, wenn sein Zähler den Wert Null hat und sein Nenner einen Wert ungleich Null hat, also

<=> - 2 x = 0 und ( 3 √ ( 9 - x ² ) ) ≠ 0

<=> x = 0

Und das ist der Kandidat für eine Extremstelle von F ( x ) = ( 2 / 3 ) * √ ( 9 - x ² )