Ein Baumstamm hat eine kreisförmige Querschnittsfläche mit drm Radius r. Aus dem Stamm wird ein Balken mit rechteckigem Querschnitt so herausgeschnitten, dass sie Tragfähigkeit des Balkens macimal wird. Die Tragfähigkeit T eines Bslkens ist proportional zur Balkenbreite b und zum Quadrat der Höhe h. Berechnen Sie die Abmessungen des Balkens, der die maximale Tragfähigkeit hat. b = sqrt(d^2 -h^2) T = cbh^2 f(x) = c * h^2 * (sqrt(d^2 -h^2)) f'(x) = (sqrt(d^2 - h^2)) * h^2 + 2h (sqrt(d^2 - h^2)) * c + ch^2 * (1/2) * (d^2 - h^2)^3/2 * 2d - 2h Wie vereinfachen und nach b bzw. h umstellen?
Was hältst du eventuell von dieser Rechnung
Hauptbedingung
T = b·h^2
Nebenbedingung
b^2 + h^2 = r^2 h^2 = r^2 - b^2
Nebenbedingung in Hauptbedingung einsetzen
T = b·h^2 = b·(r^2 - b^2) = b·r^2 - b^3 T' = r^2 - 3·b^2 = 0 b = √(1/3)·r
h^2 = r^2 - b^2 = r^2 - (r/√3)^2 = 2/3·r^2 h = √(2/3)·r = √2·b
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