Baumstamm zuschneiden....

Question

Ein Baumstamm hat eine kreisförmige Querschnittsfläche mit drm Radius r. Aus dem Stamm wird ein Balken mit rechteckigem Querschnitt so herausgeschnitten, dass sie Tragfähigkeit des Balkens macimal wird. Die Tragfähigkeit T eines Bslkens ist proportional zur Balkenbreite b und zum Quadrat der Höhe h. Berechnen Sie die Abmessungen des Balkens, der die maximale Tragfähigkeit hat.
b = sqrt(d^2 -h^2)

T = cbh^2


f(x) = c * h^2 * (sqrt(d^2 -h^2))

f'(x) = (sqrt(d^2 - h^2)) * h^2 + 2h (sqrt(d^2 - h^2)) * c + ch^2 * (1/2) * (d^2 - h^2)^3/2 * 2d - 2h


Wie vereinfachen und nach b bzw. h umstellen?

Comments

Ideen sind herzlich willkommen.

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Tipp: Untersuche die Funktion \(q(h) := f^2(h)\) auf Extremstellen.

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Joah, macht's nicht viel..

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$$q(h)=f^2(h)=c^2h^4\left(d^2-h^2\right)=c^2\left(d^2h^4-h^6\right).$$$$q'(h)=c^2\left(4d^2h^3-6h^5\right).$$$$q'(h)=0\Leftrightarrow h^3\left(4d^2-6h^2\right)=0\Leftrightarrow\left(h=0\lor4d^2=6h^2\right).$$

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Hmm, Produktregel verwendet?

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Mit der Produktregel gehts auch. Einfacher wirds, wenn man erst ausmultipliziert.

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Joah. Aber du hast doch nichts von beidem gemacht...?

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Ich habe in der ersten Zeile den Faktor \(h^4\) in die Klammer hineinmultipliziert. Der Faktor \(c^2\) ist konstant, bleibt also nach dem Ableiten erhalten.

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C wird wegen der Klammer als Konstante behandelt oder wie?

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So ist es. \(c\) und damit auch \(c^2\) ist unabhängig von h, also konstant. Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten erhalten.

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Muss in der Klammer das d^2 nicht auch abgeleitet werden?

Answer 1

Was hältst du eventuell von dieser Rechnung

 

Hauptbedingung

T = b·h^2

Nebenbedingung

b^2 + h^2 = r^2
h^2 = r^2 - b^2

Nebenbedingung in Hauptbedingung einsetzen

T = b·h^2 = b·(r^2 - b^2) = b·r^2 - b^3
T' = r^2 - 3·b^2 = 0
b = √(1/3)·r

h^2 = r^2 - b^2 = r^2 - (r/√3)^2 = 2/3·r^2
h = √(2/3)·r = √2·b

Comments

Hallo Coach.
Deine Ableitung verstehe ich nicht. Wird br^2 nicht zu zwei Argumenten durch die Produktregel?

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Der Radius des Baumes ist keine Variable sondern ein konstanter Parameter. Daher leitet man nur nach b ab. Grundsätzlich leitet man immer nur nach einer Variablen ab. Daher braucht man auch die Nebenbedingung um aus zwei Variablen nur noch eine zu machen.

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Aber wenn ich f(x) mit d und y habe, leite ich doch auch beides ab. Woher soll ich denn dann wissen, was es abzuleiten gibt. Bin etwas verwirrt. Ganz neben ei ist das Maximum hier doch auch konstant.

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Wird immer nur das in den Klammern abgeleitet? Also x bei f(x), y bei f(y), z bei f(z)?

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Ja genau. Oben könnte man also auch T(b) schreiben statt einfach nur T. Das wäre etwas genauer.

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OK, dann betrachte ich alle anderen Varianlen als Konstanten. Ich glaube, jetzt kann ich die Aufgabe endlich lösen. Danke und falls noch was fehlt (was ich bezweifle), melde ich mich.

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Ich komme auf ein ähnliches Resultat wie du ein Stück weiter oben beschrieben hat, außer dass ich halt 2r angenommen habe, also den Durchmesser.
Musterlösung:
b=(2*sqrt(3)*r)/(3)


wie das nun zustande kommen soll..

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Ergo: da fehlt was