In welchem Verhältnis wird das Volumen des Würfels durch diese Fläche geteilt?

Question

Aufgabe:

Die nebenstehende Fläche im Würfel mit Kante 1 wird aufgespannt durch zur yz-Ebene parallele Strecken, deren Endpunkte einerseits auf der eingezeichneten Flächendiagonalen und anderseits auf einer Parabel in der xz-Ebene mit Scheitelpunkt (1/0/0) durch den Punkt (0/0/1) liegen.
In welchem Verhältnis wird das Volumen des Würfels durch diese Fläche geteilt?

nebenstehende Fläche:

Text erkannt:

b)

Ansatz:

Da wir im Unterricht das Berechnen von Volumen anhand des Integrals der Querschnittsflächen hatten, dachte ich, dass dies eine solche Aufgabe war. Aber ich konnte diese Aufgabe irgendwie nicht lösen/verstehen.

Comments

Integrals der Querschnittsflächen

solltest du in der Tat ausführen.
Zeichne eine solche (parallel zur y-z-Ebene) mal ein, für ihre Oberkante ist das ja bereits erfolgt.

Answer 1

∫ (0 bis 1) (1/2·(x^2 + x)) dx = 5/12

Damit ist das Volumen über dieser Fläche 7/12 und das Verhältnis der Volumen zueinander 5:7.

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Sollte lul eine Integration über Schnittflächen in y-Richtung im Sinn gehabt haben

 

so ist für y=0 die Fläche unter der Parabel A(0) = 1/3 und für y=1 die Fläche unter der Geraden A(1)=1/2 zu berücksichtigen und der lineare Verlauf zwischen diesen ergibt das untere Volumen durch Betrachtung des Trapezes

V = 1/2*(1/3 + 1/2) = 5/12

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@ dzuma : Falls du die Antwort abschreiben willst, solltest du als Integrandenfunktion nicht 1/2(x^2+x) wie MC sondern besser 1/2(x^2-3x+2) nehmen

Answer 2

Du musst die Fläche parametrisieren.  für y=0 hast du z=(x-1)^2 für y=1 hat du y=1-x dazwischen ist y=p(1-y)+q*y mit p=(x-1)^2, q=1-x

Gruß lul

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dazwischen ist y=p(1-y)+q*y

Für Leute wie mich, die nicht auf Anhieb ohne Rechnung erkennen, dass die Schnittflächen parallel zur x-z-Ebene linear mit y zunehmen, wäre ein entsprechendes Argument hilfreich.

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Hallo

die Geraden sind eingezeichnet, sonst wüsste ich das auch nicht.

lul

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Nochmaliges Überdenken hat mich auch zu der Überzeugung gebracht, dass keine tiefere Begründung möglich / nötig ist.

Wahrscheinlich war ich zu sehr mit meinem eigenen Ansatz (den ich allerdings immer noch für den einfachsten halte) befasst, der eine Integration von Trapezen in u-Richtung vorsah :