Es sei G eine Gruppe. Für ein g ∈ G bezeichne Lg : G → G, x → gx die Linkstranslation..

Question

Aufgabe:

Es sei \( G \) eine Gruppe. Für ein \( g \in G \) bezeichne \( L_{g}: G \rightarrow G, x \mapsto g x \) die Linkstranslation.

Zeige:

a) \( L_{g} \) ist injektiv.

b) Die Abbildung \( \phi: G \rightarrow \operatorname{Sym}(G) \) ist ein Monomorphismus.

Answer 1

a) Nutze die Definition der Injektivität: Gelte gx=gy, da G eine Gruppe ist kann man diese Gleichung von Links mit dem Inversen von g multiplizieren und erhält: x=y. Also ist die Abb. injektiv. b) ich gehe davon aus, dass $$\varphi: G \to Sym(G), \, g \mapsto L_g$$. Für die Injektivität ist zu zeigen, dass $$L_g=id \Rightarrow g=e$$ oder anders ausgedrückt:$ $gx=x \forall x\in G \Rightarrow g=e$$.