Bestimmen Sie eine Basis von diesem Unterraum! {(v1,…,vn)∈ R^n | v1 + ... + vn=0}

Question

∈

zunächst die komplette Fragestellung:

Beweisen Sie, dass die Teilmenge

\( \left\{\left(\begin{array}{c}{v_{1}} \\ {\vdots} \\ {v_{n}}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{n} | v_{1}+\ldots+v_{n}=0\right\} \subset \mathbb{R}^{n} \)

ein Unterraum von Rⁿ ist, und bestimmen Sie eine Basis von diesem Unterraum.

Mit dieser Aufgabe habe ich ein Problem. Den ersten Teil der Aufgabe, nämlich zu beweisen, dass es sich bei der angegebenen Teilmenge um einen Unterraum handelt, habe ich bereits gelöst. Es ist auf jeden Fall einer.

Denn addiert man zwei Vektoren, deren Komponenten jeweils aufaddiert 0 ergeben, so erhält man auf jeden Fall einen Vektor dessen Komponenten aufaddiert ebenfalls 0 ergeben.

Schaut man sich die Skalarmultiplikation an, stellt man fest, für jede reelle Zahl multipliziert mit 0 ergibt sich 0.

Folglich ist die Teilmenge ein Unterraum von Rⁿ.

Nun zum zweiten Teil, mit dem ich Schwierigkeiten habe. Da die Teilmenge aus einem Vektor mit n Komponenten besteht, handelt es sich um einen Unterraum in Form einer Geraden (oder?)

Das würde bedeuten, dass eine Basis dieses Unterraumes ebenfalls eine Gerade sein muss (so nehme ich zumindest an) und somit aus einem einzigen Vektor besteht.

Aber ich kann mir einfach nicht vorstellen welche Basis diese Teilmenge aufspannen soll ?!

Ich bin für jeden Tipp dankbar.

Comments

Die Menge ist eine sog. Hyperebene, hat Dimension n-1. Ist also nur für n=2 eine Gerade.

---

Okay, aber leider komme ich der Lösung mit diesem Hinweis nicht näher. Bin weiter offen für jede Hilfe!

Answer 1

eine Basis wäre z.B. (1,0,...,0,-1),(1,0,...,0,-1,0),....,(1,-1,0,....,0) (n-1-Elementig wie bereits kommentiert). Vielleicht hilft es der Anschauung die Menge als Lösungsmenge der Gleichung in der Mengenklammer aufzufassen.

Comments

ich versteh dieses n-1 nicht richtig. Soll das heißen das die Basis aus n-1 vektoren besteht oder das die Vektoren der Basis nur n-1 elementen haben ?. Sollte das erste der Fall sein wie soll ein Vektor aus 5 elementen dan zB. aus Vektoren der Basis mit 4 Elementen erzeugt werden, das letzte Element kann ja dann gar nicht dargestellt werden. Nehmen wir mal das Bsp (2,3,-2,-2,-1) in R^5 addiert wäre das zusammen 0 , bloß wie könnte man das mit der zugehörigen Basis dieser Aufgabe darstellen ?

---

Das wäre dann doch (1,2,2,-3)

Kontrolliere meine Vermutung mit 1*v1 + 2*v2 + 2*v3 - 3v4.