Bestimme eine Basis von Teilmenge R⁴

Question

Aufgabe:

Untervektorraum von ℝ^4 lautet U={ (a,b,c,d)∈ℝ^4| -a-b+c=0}

Bestimme eine Basis von U

Problem/Ansatz:

Ich habe mir als Basis überlegt B={ (1,-1,0,0), (1,0,-1,0), (1,-1,0,1)} (jeweils bitte transponiert lesen)

Diese habe ich als Zeilen einer Matrix geschrieben und da diese Matrix 3 Stufen hat, sind die Vektoren alle linear unabhängig.

Nun möchte ich das erzeugenden System zeigen. Nur wie mache ich das am besten? Ich habe versucht den Spann der oben genannten Matrix zu erstellen und dieser sollte gleich U sein. Nur habe ich als span((1,1,1,0)) raus, was ja nicht U ist. Wo liegt hier mein Fehler? Welcher Schritt war hier falsch? (Die Matrix in Zeilen Stufenform habe ich zusätzlich mit einem Rechner überprüft).

Answer 1

Hallo :-)

Dein zweiter Vektor \(\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\end{pmatrix}\) gehört nicht zu U, da \(-1-0+(-1)=-2\neq \)0 ist.

Man kann aber folgendermaßen recht leicht eine Basis von \(U\) finden:

Sei \(v:=\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}\in U\) beliebig. Dann gilt \(-a-b+c=0 \Leftrightarrow c=a+b\). Damit hat man für \(v\) die Darstellung:

$$ v=\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\b\\a+b\\d\end{pmatrix}=a\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}+b\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}+d\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix} $$

Damit hat man folgendes Erzeugendensystem von U: $$\left\{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}\right\}$$

Jetzt musst du nur noch die lineare Unabhängigkeit nachweisen.

Comments

Vielen Dank, solch ein Vorgehen hat mir gefehlt!

(Hab wohl zu schnell gerechnet...)

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Gern geschehen :-)

Answer 2

Hallo

1. (1,0,-1,0) erfüllt -a-b+c=0 nicht , denn -1+-1=-2≠0

wie du den Span gefunden haben willst verstehe ich nicht, , falls du alle 3 richtig gewählt hättest bilden sie doch den Spann?

warum das in eine Matrix schreiben? was willst d damit erreichen? zu zeigen dass sie ln unabhängig sind.?

Gruß lul

Comments

Wenn ich sie in einer matrix schreibe und diese vollen Stufenrang hat, dann sind die Vektoren linear unabhängig - daher, das war meine Überlegung:)

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Hallo

das stimmt, damit hast du die lineare Unabhängigkeit. aber hast du den falschen Vektor korrigiert und dann die 3 als Spann  oder Basis des UVR genommen?

lul