für einen Unterraum muss ja für x aus U und z aus IR auch z*x aus U sein.
ist x=(x1,x2,x3) aus U so gilt x1 + 2x2 + 3x3 = a
also muss auch zx1 + 2zx2 + 3zx3 = a gelten
aber aus der ersten Gleichung folgt
zx1 + 2zx2 + 3zx3 = z*a
es muss also für alle z aus R a=za gelten und das geht nur für a=0
Dann ist U die Menge alle x mit x1 + 2x2 + 3x3 = 0
Da du für die drei Variablen x1 x2 x3 nur eine Gleichung hast, kannst du x2 und x3
frei wählen, etwa x2=s und x3=t dann ist x1 = -2s - 3t
also x = ( -2s - 3t , s , t) = ( -2s , s , 0 ) + ( -3t , 0 , t )
= s*( -2 , 0 ,1 ) + t* ( -3 , 0 , 1 )
und weil ( -2 , 0 ,1 ) und ( -3 , 0 , 1 ) lin. unabbh. sind, bilden sie
eine Basis von U.