Ich habe hier folgende Aufgabe bei der ich etwas Hilfe bräuchte:
V bezeichne den Vektorraum der stetigen Funktionen von R nach R über dem Körper R, dabei werden Addition von Funktionen und Multiplikation mit Skalaren punktweise auf den Funktionswerten definiert.
Welche der folgenden Teilmengen sind Unterräume von V?
$$A\quad =\quad \{ f\quad \in \quad V\quad |\quad f(-1)\quad =\quad -f(1)\} \\ B\quad =\quad \{ f\quad \in \quad V\quad |\quad (f(-1))²\quad =\quad (f(1))²\} $$
Mir ist klar, dass ich nun die 3 Bedingungen für die jeweiligen Mengen prüfen muss, nur weiß ich nicht wie ich da genau vorgehen muss, wie ich das zeige.
$$1)\quad U\quad \neq \quad \emptyset \\ 2)\quad \forall \quad u,\quad u'\quad \in \quad U:\quad u\quad +\quad u'\quad U\\ 3)\quad \forall \quad \lambda \quad \in \quad K:\quad \forall \quad u\quad \in \quad U:\quad \lambda \quad *\quad u\quad \in \quad U$$
Für 1) müsste es ja ausreichen, zu zeigen, dass es ein Element gibt, dass die Bedingung der Menge erfüllt. Dass sollte bei beiden Mengen f(x) = x, wenn ich mich nicht täusche.
Aber wie zeigt man, dass die Bedingungen 2 und 3 gelten? Bzw. nicht gelten?
Wenn ich sehen würde, dass eins nicht stimmen kann, dann würde ich Gegenbeispiel suchen und so zeigen, dass es sich nicht um einen Unterraum handelt, aber das ist nicht der Fall.
