Ist die Lösungsmenge ein Unterraum von R3 und die Basis bilden?

Question

Aufgabe:

\( \left(\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \)

Ist die Lösungsmenge ein Unterraum von R3? Geben Sie eine Basis und die Dimension der Lösungmenge an.

Problem/Ansatz:

Lösungsmenge:

t(-2/1/0) + s(-3/0/1) -> Ebene durch den Ursprung.

Ist ein Unterraum von R3.

-2/1/0 und -3/0/1 an sich bilden eine Basis mit zwei Vektoren -> Dimension = 2.

Meine Ausgangsmatrix ist doch lin. abhängig, wieso kann ich folgende Basis bilden? Ich habs mal berechnet, aber ich weiss nicht genau, wieso ich das jetzt darf, da diese lin. unabhängig sein müssen.

Answer 1

Aloha :)

Das Gleichungssystem enthält nur eine Bedinungsgleichung an die Koordinaten:$$x+2y+3z=0\quad\Leftrightarrow\quad x=-2y-3z$$Wir haben also 2 Freiheitsgrade, sodass alle Lösungsvektoren in einer Ebene liegen:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2y-3z\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2y\\y\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-3z\\0\\z\end{pmatrix}=y\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}$$Wir stellen sofort fest, dass der Nullvektor in der Lösungsmenge liegt \((y=z=0)\) und dass die beiden Richtungsvektoren der Ebene linear unabhängig sind. Die Lösungsmenge bildet also einen Unterraum des \(\mathbb R^3\) mit den Richtungsvektoren als Basisvektoren.