Aloha :)
zu a) Untervektorraum zeigen
Wir prüfen, ob die Menge$$U_1=\left\{(x;y;z)\in\mathbb R^3\,\big|\,2x-y-\frac z2=0\right\}$$ein Untervektorraum ist, indem wir die dafür nötigen Eigenschaften prüfen.
(1) Die Menge \(U_1\) ist nicht leer.
Der Nullvektor \((0;0;0)\) erfüllt die Gleichung \((2x-y-\frac z2=0)\), daher ist \(\vec 0\in U_1\).
(2) Abgeschlossenheit bezüglich der Addition:$$\vec a\,,\,\vec b\in U_1\quad\implies\quad 2x_a-y_a-\frac{z_a}{2}=0\;\land\; 2x_b-y_b-\frac{z_b}{2}=0$$$$\phantom{\vec a\,,\,\vec b\in U_1\quad}\implies\quad \left(2x_a-y_a-\frac{z_a}{2}\right)+\left(2x_b-y_b-\frac{z_b}{2}\right)=0$$$$\phantom{\vec a\,,\,\vec b\in U_1\quad}\implies\quad 2(x_a+x_b)-(y_a+y_b)-\frac{z_a+z_b}{2}=0\quad\implies\quad(\vec a+\vec b)\in U_1$$
(3) Abgeschlossenheit bezüglich der Skalarmultiplikation:$$c\in\mathbb R\;;\;\vec a\in U_1\implies\quad c\cdot\left(2x_a-y_a-\frac{z_a}{2}\right)=c\cdot0$$$$\phantom{c\in\mathbb R\;;\;\vec a\in U_1}\implies\quad 2(c\cdot x_a)-(c\cdot y_a)-\frac{(c\cdot z_a)}{2}=0\quad\implies\quad(c\cdot\vec a)\in U_1$$
\(U_1\) erfüllt also alle 3 Eigenschaften eines Untervektorraums.\(\quad\checkmark\)
zu b) Basis von \((U_1\cap U_2)\) bestimmen
Wir bestimmen zunächst eine Basis des Unterraums \(U_2\), indem wir die linearen Abhängigkeiten aus den 3 aufspannenden \(\vec v\)-Vektoren mittels elementarer Spaltenoperationen herausrechnen:$$\begin{array}{c}-S_3 & -S_3 & \\\hline1 & 2 & 0\\1 & 1 & 1\\2 & 2 & 2\end{array}\to\begin{array}{c} & -2S_1 & \\\hline1 & 2 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & 0 & 2\end{array}\to\begin{array}{c}\vec b_1 & & \vec b_2\\\hline1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & 0 & 2\end{array}$$Es bleiben 2 Basisvektoren übrig. Offensichtlich darf die \(x\)-Komponente beliebig gewählt werden (Basisvektor \(\vec b_1\)) und für die beiden anderen Komponenten muss \((z=2y)\) gelten (Basisvektor \(\vec b_2\)). Daher können wir den Untervektorraum \(U_2\) auch so schreiben:$$U_2=\left\{(x;y;z)\in\mathbb R^3\,\big|\,-2y+z=0\right\}$$
Ein Vektor aus \(U_1\cap U_2\) muss nun sowohl die Bedingungsgleichung für \(U_1\) als auch die Bedingngsgleichung für \(U_2\) erfüllen. Das führt auf ein kleines Gleichungssystem:$$\begin{array}{rrr|c|l}x & y & z & = & \text{Operation}\\\hline2 & -1 & -\frac12 & 0 & -\frac12\cdot\text{Gleichung 2}\\0 & -2 & 1 & 0 &\cdot(-1)\\\hline2 & 0 & -1 & 0 &\Rightarrow2x-z=0\\0 & 2 & -1 & 0 & \Rightarrow 2y-z=0\end{array}$$Die beiden Forderungen an die Lösung stellen wir um zu \((x=\frac12z)\) und \((y=\frac12z)\) und können damit alle Vektoren aus \(U_1\cap U_2\) aufschreiben:$$U_1\cap U_2\colon\;\vec x=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac12z\\[1ex]\frac12z\\[0.5ex]z\end{pmatrix}=\frac z2\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}=\mathbb R\pink{\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}}$$Da \(z\in\mathbb R\) beliebig gewählt werden darf, können wir den Vorfaktor \(\frac z2\) durch jede beliebige reelle Zahl ersetzen. Der pinke Richtungsvektor der Lösungsgeraden ist eine mögliche Basis für \(U_1\cap U_2\).
zu c) Basis von \((U_1+U_2)\) bestimmen
Wir suchen nun eine Basis des Vektorraums, der die beiden Vektorräume \(U_1\) und \(U_2\) enthält. Eine Basis \(\vec b_1\) und \(\vec b_2\) für \(U_2\) haben wir in (b) bestimmt. Uns fehlt noch eine Basis für \(U_1\). Die erhalten wir, indem wir die Bedigungsgleichung umformen:$$2x-y-\frac z2=0\quad\implies\quad z=4x-2y$$und alle Vektoren aus \(U_1\) explizit aufschreiben:$$U_1\colon\;\vec x=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\4x-2y\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix}=\mathbb R\underbrace{\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}}_{=\vec a_1}+\mathbb R\underbrace{\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix}}_{=\vec a_2}$$
Die 4 Vektoren \(\vec a_1,\vec a_2,\vec b_1,\vec b_2\) spannen \((U_1+U_2)\) auf. Da wir eine Basis für \((U_1+U_2)\) suchen, rechnen wir wieder die linearen Abhängigkeiten unter diesen 4 Vektoren durch elementare Spaltenumformungen heraus:$$\begin{array}{rrrr} & & -S_1 & -S_2\\\hline1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1\\0 & 2 & 4 & -2\end{array}\to\begin{array}{rrrr} & -\frac12S_3 & \div4 & +S_3\\\hline1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 2 & 4 & -4\end{array}\to\begin{array}{rrrr} \vec e_1 & \vec e_2 & \vec e_3 &\\\hline1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\end{array}$$Wir erhalten die kanonsiche Standardbasis des \(\mathbb R^3\). Der kleinste Vektorraum \((U_1+U_2)\), der beide Untervektorräume enthält, ist also der \(\mathbb R^3\).
