Zeigen Sie, dass U_{1} und U_{2} ein Unterraum von V genau dann ist ...

Question

(a) Es seien \( U_{1} \) und \( U_{2} \) Unterräume eines Vektorraums \( V \). Zeigen Sie, dass \( U_{1} \cup U_{2} \) ein Unterraum von \( V \) genau dann ist, wenn \( U_{1} \subseteq U_{2} \) oder \( U_{2} \subseteq U_{1} \) ist.

(b) Es seien \( U_{1} \) und \( U_{2} \) Unterräume eines Vektorraums \( V \). Zeigen Sie, dass \( U_{1}+U_{2} \) ein Unterraum von \( V \) ist.

Answer 1

(a) Seien \(u_1\in U_1\setminus U_2\) und \(u_2 \in U_2\setminus U_1\). Dann folgt aus \(u_1+u_2\in U_1\) mittels \(u_1+u_2\in U_1\implies -u_1+u_1+u_2\in U_1\implies u_2\in U_1\), dass \(u_2\in U_1\) ist.

(b) Seien \(\mathcal{B}_1\) und \(\mathcal{B}_2\) Basen von \(U_1\) bzw. \(U_2\). Dann ist \(\mathcal{B}_1 \cup\mathcal{B}_2\) ein Erzeugendensystem von \(U_1+U_2\).