Zeigen Sie, dass U_{1} und U_{2} Unterräume von V sind.

Question

Aufgabe:

Es sei der Vektorraum \( V=\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \) gegeben. Weiterhin seien

\(\begin{array}{l}U_{1}=\{f \in V: f(x)=f(-x) \forall x \in \mathbb{R}\} \\U_{2}=\{f \in V: f(x)=-f(-x) \forall x \in\mathbb{R}\}\end{array}\)

Zeigen Sie, dass \( U_{1} \) und \( U_{2} \) Unterräume von \( V \) sind.

Problem/Ansatz:

Ich bräuchte Hilfe bei der Aufgabe

Answer 1

Zeige, dass sie beide die 0-Abbildung (also f(x)=0 für alle x) enthalten

und jeweils die Summe von zweien enthalten ist

Etwa so:  Seien f,g aus U1, also f(x)=f(-x) und g(x)=g(-x)

dann gilt auch f+g aus U1, weil

(f+g)(x)=f(x)+g(x)=f(-x)+g(-x)=(f+g(-x) und ähnlich:

f aus U1 und k∈ℝ, dann auch k*f aus U1.