Linearkombination. Zeigen, dass jeder Vektor des R^4 eine Linearkombination von v1,...,v6 ist.

Question

\( \operatorname{Im} \mathrm{R}^{4} \) sind die folgenden 6 Vektoren gegeben:

\( \left(\begin{array}{c}-2 \\ 0 \\ 0 \\ -2\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \)

Zeigen Sie, dass jeder Vektor des \( \mathrm{R}^{4} \) sich als Linearkombination dieser 6 Vektoren schreiben lässt.

Comments

Weißt du was der Rang einer Matrix ist? Falls ja, schreib die Vektoren in eine Matrix und bestimme deren Rang.

Answer 1

Hi,

Du sollst eigentlich nur zeigen, dass es ein r, s, t, u und w gibt, die dafür sorgen, dass man aus der rechten Summe das linke basteln kann (dabei seien v_i Vektoren).

 

v₁ = rv₂+sv₃+tv₄+uv₅+wv₆

 

Für v₁ wäre das zum Beispiel der Fall, wenn r=s=t=w = 0 und u = -2.

 

Grüße

Comments

ich dachte man muss die aufgabe so lösen:

(-2/0/0/-2)*r+ (1/0/1/0)*s+...+ (1/0/0/1)*w= (a/b/ c/ d)

dann nur noch umformen.

ist das richtig?

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Was ist denn a, b, c und d? Die sind beliebig? Das wäre dann nicht richtig?

Du nimmst Dir einen Vektor raus und versuchst ihn durch die anderen 5 zu beschreiben ;).

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Zwischenruf: Das was ihr hier zeigt ist, dass die Vektoren linear abhängig sind. Damit ist nicht gezeigt dass sie den Vektorraum erzeugen. Z.B. ist für die Vektoren a=(1,0,0),b=(0,1,0),c= (1,1,0) c=a+b aber die vektoren a,b,c erzeugen nicht den IR³.

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Das ist richtig, aber meiner Meinung nach gar nicht gefragt.

Es soll ja nicht direkt auf Abh. oder Unabh. untersucht werden, sondern man soll das indirekt zeigen, indem man wirklich jeden Vektor rauspickt und versucht eine Linearkomb. aufzustellen. Also genau der letzte (und eigentliche Satz) in der Aufgabe ;).

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ok danke! dann werde ich das so machen.

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Du musst gemäss Fragestellung aber zeigen, dass alle Vektoren des R^4 als Linearkombination dieser 6 Vektoren geschrieben werden kann.

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Ja, genau so hatte ich das gesagt/gemeint und nur ein Beispiel rausgegriffen.

Danke fürs unterstreichen ;).