Oktaeder mit Grundkante und Seitenkante! Wie kommt man auf das Volumen, Körperhöhe und Oberfläche?

Question

16 cm Ihr müsst es mir nicht ausrechen, sondern nur erklären was man als Erstes macht und wie man darauf kommt. Ich sitze seit einer halben Stunde hier und komme nicht auf die Antwort...  

Ich kann den Satz d. Phyt. und Gleichungen.

Answer 1

Ein Oktaeder besteht ja aus zwei Pyramiden mit quadratischer Grundfläche.

Du hast also die Grundkante g und die Seitenkante s gegeben. (Im Oktaeder gilt ja sogar s=g) Jetzt kannst du die Höhe h der Pyramiden nach dem Satz des Pythagoras ausrechnen, denn sie sind Katheten in einem rechtwinkligen Dreieck:

Erstmal brauchst du die Diagonale der Grundfläche, die lautet

d² = 2g²

Und jetzt kannst du die Höhe ausrechnen, weil die ein rechtwinkliges Dreieck mit der halben Diagonalen bildet:

h² + (d/2)² = s²

h² = s²-d²/4 = s²-g²/2

h² = 1/2 g²

h = g/√2

Damit erhältst du das Volumen der Pyramide:

V_p = 1/3 h*g²

V_p = 1/3 g³/√2

Da der Oktaeder aus zwei solchen Pyramiden besteht, ist sein Volumen genau doppelt so groß:

V_O = 2V_p = √(2)/3 g³

 

Die gesamte Körperhöhe ist ebenfalls gleich der zweifachen Pyramidenhöhe, also:

H = 2h = √2g

 

Und für die Oberfläche braucht man zusätzlich die Höhe der Seitendreiecke, die erhält man auch mit dem Satz des Pythagoras, ich nenne sie mal l:

l² = s² - (g/2)² = g² - g²/4 = 3g²/4

l = √3 g/2

Die Fläche eines Dreiecks beträgt dann 1/2*g*l:

A_D = √3 g²/4

Und das Oktaeder hat insgesamt 8 Flächen, also:

A_O = 8A_D = 2√3 g²

 

 

Answer 2

Schau mal unter

http://www.mathematische-basteleien.de/oktaeder.htm

Dort wird der Oktaeder genauestens untersucht und auch die ganzen Formeln zur Berechnung deutlich gezeigt und hergeleitet.