Zu a)
Zur Berechnung der Inversen B -1 von B schreibt man die zu invertierende Matrix B hin und rechts daneben, getrennt durch einen senkrechten Strich, die Einheitsmatrix.
Nun formt man die zu invertierende Matrix B durch elementare Zeilenumformungen in die Einheitsmatrix um und wendet alle dabei verwendeten Umformungen auch auf die rechts stehende Einheitsmatrix um.
Steht auf der linken Seite schließlich die Einheitsmatrix, dann steht rechts vom Strich die Inverse B -1
Das sieht dann z.B. so aus:
$$\left( {\begin{matrix} -1 & 1 \\ 0 & 3 \end{matrix} }|{\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} } \right)$$Erste Zeile mit - 1 multiplizieren, zweite Zeile durch 3 dividieren:$$\left( { \begin{matrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & \frac { 1 }{ 3 } \end{matrix} } \right)$$Zur ersten Zeile die zweite Zeile addieren:$$\left( { \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} -1 & \frac { 1 }{ 3 } \\ 0 & \frac { 1 }{ 3 } \end{matrix} } \right)$$
Also:
$${ B }^{ -1 }=\left( \begin{matrix} -1 & \frac { 1 }{ 3 } \\ 0 & \frac { 1 }{ 3 } \end{matrix} \right) $$
Zu b)
Damit:
$$B\vec { x } =\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$$Von links mit B -1 multiplizieren:$$\Leftrightarrow { B }^{ -1 }B\vec { x } ={ B }^{ -1 }\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$$$$\Leftrightarrow { E }\vec { x } ={ B }^{ -1 }\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$$$$\Leftrightarrow \vec { x } ={ B }^{ -1 }\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac { 7 }{ 3 } \\ \frac { 2 }{ 3 } \end{pmatrix}$$