Aufgabe:
b) Gegeben seien die Funktionen \( \vec{g}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) und \( \vec{h}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \mathrm{mit} \)
$$ \vec{g}(x, y)=\left(\begin{array}{c} 2 y e^{2 x} \\ x e^{y} \end{array}\right) \quad \text { und } \quad \vec{h}(x, y)=\left(\begin{array}{c} 3 x-y^{2} \\ 2 x+y \\ x y+y^{3} \end{array}\right) $$
i) Zeigen Sie, dass \( \vec{g} \) um den Punkt \( \vec{a}=(0,1) \) lokal bijektiv ist.
ii) Berechnen Sie \( D\left(\vec{h} \circ(\vec{g})^{-1}\right)(2,0) \).
Problem/Ansatz:
Ich bräuchte hilfe bei der ii) und zwar verstehe ich nicht wie ich rechnerisch da vorgehe.
die matrix g soll ja zunächst invertiert werden und dann mit der Mehrdimensionalen Kettenregel mit h verrechnet werden, aber wie invertiere ich die Matrix g, wenn nur quadratische Matrizen invertiert werden können (dachte ich)?
Eine Lösung wäre sehr hilfreich!
