Inversion von Matrizen invertierbar?

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Matrizen
$$ \mathbf{A}=\left(\begin{array}{rrr} {-1} & {1} & {1} \\ {-1} & {2} & {3} \\ {0} & {2} & {1} \end{array}\right) \quad \text { und } \quad \mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {1} \\ {1} & {0} & {1} \\ {1} & {3} & {1} \end{array}\right) $$
(a) sind die Matrizen invertierbar? Berechnen Sie gegebenenfalls ihre Inversen. (Tipp: Berechnen Sie zuerst die Determinante und die Kofaktoren.)
(b) Lösen Sie ggf. mit Hilfe der invertierten Matrizen die folgenden Gleichungsssysteme:
$$ \mathbf{A} \vec{x}=\left(\begin{array}{r} {-3} \\ {3} \\ {6} \end{array}\right), \quad \mathbf{B} \vec{x}=\left(\begin{array}{r} {1} \\ {2} \\ {-1} \end{array}\right) $$

Ich sehe zum ersten Mal Matrizen, die auf Invertierbarkeit überprüft werden müssen. Wie geht man vor?

Comments

Eine, i.d.R. die sinnvollste, Methode zu überprüfen ob eine matrix invertierbar ist, ist die, die in der Aufgabe als Tipp dabei steht.

Answer 1

Hi,

Matrizen sind invertierbar, wenn die Determinate ungleich 0 ist. Die Determinante von A ist 3 also ist A  invertierbar und die Determinanta von B ist 0 also ist B nicht invertierbar. Bei B sieht man auch sofort das die 1-te und 3-te Spalte linearabhängig sind, sie sind ja identisch, damit muss die Determinate 0 sein.

Zum lösen der Gleichungssysteme würde ich das Gaussverfahren anwenden und das Gleichungssystem auf Zeilen- Stufenform bringen und dann die Lösungen ablesen.