Inversion an einem Kreis?

Question

Aufgabe:

Gegeben sei ein Inversionskreis \( k=k_{O, r} \) mit \( r=3 \mathrm{~cm} \). (gestrichelt in der Skizze).

An diesem soll das Trapez ABCD invertiert werden. Dabei schneiden sich die Geraden \( A D \) und \( B C \) in \( O \) und stehen senkrecht zueinander. \( C D \) ist eine Tangente an den Inversionskreis im Berührpunkt \( F \), der auch Mittelpunkt von \( \overline{C D} \) ist. \( E \) sei der Schnittpunkt von \( \overline{O F} \) mit \( \overline{A B} \) und der Abstand von \( E \) zu \( O \) sei \( r / 2=1,5 \mathrm{~cm} \). Beschreiben und skizzieren Sie die Bilder dieser Objekte.
Hinweis: Invertieren Sie als erstes die beiden Parallelen des Trapezes. Bestimmen Sie dazu \( E^{\prime} \).

Problem: ich verstehe nicht ganz, wie ich die Strecken DA, AB, BC invertieren soll. Die Strecke DC habe ich soweit invertiert, aber bin mir da auch unsicher ob es richtig ist. Würde mich über Hilfe sehr freuen. Ich habe die skizze der Aufgabe und meine aktuelle ,,Lösung" als Bild angehängt. Bei dem roten Kreis bin ich mir dahingehend unsicher, dass es eventuell ein Halbkreis sein sollte. Für die Strecken DA und BC hätte ich zunächst gesagt, dass sie auf sich selber abgebildet werden, weil sie durch den Zentrum des Kreises laufen würden, würde man durch die Punkte hinauszeichnen. Bei AB hätte ich zunächst gesagt, dass man über die Strecke hinaus zeichnet. Dann die zwei Schnittpunkte mit dem Kreis und das Zentrum O als Randpunkte des Kreises betrachtet, das entsteht, wenn man die Strecke AB invertiert. Nur ist AB an sich ja auch keine Sekante, weshalb die Idee keinen Sinn ergibt...

Answer 1

Beschränke dich mal nicht auf die Strecke AB, sondern betrachte die Gerade AB.

Sie schneidet den Inversionskreis. Diese Schnittpunkte werden auf sich selbst abgebildet. Die Gerade geht in beiden Richtungen "ins Unendliche", sie wird durch die Abbildung deshalb zu einem Kreis, der durch den Mittelpunkt des Inversionskreises verläuft. durch diese drei Punkte ist das Abbild der Gerade AB schon eindeutig bestimmt.

Zusätzlich kannst du aber noch den Bildpunkt von E bestimmen. Da E von O den Abstand r/2 hat, hat E' von O den Abstand 2r.

Aber diesen Kreis hast du ja selbst gefunden.

Da die Gerade AD durch O geht, wird sie auf sich selbst abgebildet. Allerdings werden kreisinnere Punkte nach außen abgebildet und umgekehrt. Du kannst auch nicht sofort davon ausgehen, dass konkret A auf D und D auf A abgebildet würden (auch wenn sich das letztendlich als wahr herausstellt.

Fakt ist: Da A auf der Gerade AD und auf der Gerade AB liegt, liegt A' dort, wo sich die Bildgerade der Gerade AD (also letztendlich die Gerade AD selbst) und der Bildkreis der Gerade AB schneiden.

In der Abbildung siehst du rot das Bild des Trapezes. (Punktbezeichnungen entsprechen NICHT dem Original).

Comments

Danke Danke Danke!!! Diese Antwort hilft mir echt mega weiter!!