Ableitung (h-Schreibweise) von f(x)=1/x^2

Question

Ich kriege es einfach nicht hin und hoffe, dass ihr mir schnell helfen könnt.

Ich soll die Ableitung der Funktion f(x)=1/x^2 in der h-Schreibweise aufstellen.


Vielen Dank schonmal im Voraus.

Answer 1

f(x) = 1/x^2

m = (f(x + h) - f(x)) / h

m = (1/(x + h)^2 - 1/x^2) / h
m = ((x^2/(x^2·(x + h)^2)) - (x + h)^2/(x^2·(x + h)^2)) / h
m = (x^2 - (x + h)^2)/(x^2·(x + h)^2) / h
m = (x^2 - (x^2 + 2·x·h + h^2))/(x^2·(x + h)^2) / h
m = (- 2·x·h - h^2)/(x^2·(x + h)^2) / h
m = (- 2·x - h)/(x^2·(x + h)^2)

für h --> 0

m = (- 2·x - 0)/(x^2·(x + 0)^2)
m = - 2·x/(x^2·x^2)
m = - 2/(x^3)

Comments

erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort!

Allerdings verstehe ich diesen Schritt nicht so wirklich

m = (1/(x + h)2 - 1/x2) / h

m = ((x2/(x2·(x + h)2)) - (x + h)2/(x2·(x + h)2)) / h


Könnte man mir den bitte erklären?

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Um Brüche addieren zu können muss man sie auf den Gleichen Hauptnenner bringen

a/b + c/d = ad/bd + bc/bd = (ad + bc)/bd

Genau das wird dort auch gemacht. Schreibe es dir mal richtig als Brüche auf und betrachte es nicht nur auf dem PC Bildschirm.

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Ahhhhh, jetzt verstehe ich es. Vielen

Answer 2

Formal korrekt sieht es so aus:

$$f\left( x \right) =\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } }$$$$\Rightarrow$$$$f^{ ' }\left( x \right) =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { \frac { 1 }{ { \left( x+h \right)  }^{ 2 } } -\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } }  }{ h }  }$$$$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { \frac { { x }^{ 2 } }{ { { x }^{ 2 }\left( x+h \right)  }^{ 2 } } -\frac { { \left( x+h \right)  }^{ 2 } }{ { { x }^{ 2 }\left( x+h \right)  }^{ 2 } }  }{ h }  }$$$$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { x }^{ 2 } }{ { { hx }^{ 2 }\left( x+h \right)  }^{ 2 } } -\frac { { \left( x+h \right)  }^{ 2 } }{ { { hx }^{ 2 }\left( x+h \right)  }^{ 2 } }  }$$$$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { x }^{ 2 }-{ x }^{ 2 }-2hx-{ h }^{ 2 } }{ { { hx }^{ 2 }\left( x+h \right)  }^{ 2 } }  }$$$$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { -2hx-{ h }^{ 2 } }{ { { hx }^{ 2 }\left( x+h \right)  }^{ 2 } }  }$$$$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { -2x-{ h } }{ { { x }^{ 2 }\left( x+h \right)  }^{ 2 } }  }$$$$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { -2x-{ h } }{ { { x }^{ 2 }\left( { x }^{ 2 }+2hx+{ h }^{ 2 } \right)  } }  }$$$$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { -2x-{ h } }{ { { x }^{ 4 }+2h{ x }^{ 3 }+{ h }^{ 2 }{ x }^{ 2 } } }  }$$$$=\frac { -2x }{ { { x }^{ 4 } } }$$$$=\frac { -2 }{ { { x }^{ 3 } } }$$